Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: projektiver Raum

eines der grundlegenden Objekte der algebraischen Geometrie, siehe auch projektive Geometrie.

Es sei E ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper k, und es sei ℙ(E) = ℙ(E)(k) die Menge aller Unterräume der Kodimension 1 von E, die kanonisch isomorph zur Menge \({\mathbb{P}}(\breve{E})\) aller eindimensionalen Unterräume von \(\breve{E}\) = Hom(E, k) ist.

Wenn beispielsweise A ein affiner Raum der Dimension n ist, und E der Raum aller affinen Funktionen Ak, so erhält man eine natürliche Einbettung A ⊂ ℙ(E), indem man jedem pA die Menge der affinen Funktionen X : Ak mit X(p) = 0 zuordnet. Das Komplement ℙ(E) \ A ist kanonisch isomorph zur Menge aller eindimensionalen Unterräume des zu A gehörigen Vektorraumes T(A), weil einem n-dimensionalen Unterraum von E, der keine Nullstelle in A hat, ein (n − 1)-dimensionaler Unterraum von Linearformen auf T(A) entspricht.

Ist LE ein eindimensionaler Unteraum, so ist \begin{eqnarray}{D}_{+}(L)=\{P\subseteq {\mathbb{P}}(E)L\rlap{/}{\subseteq }H\}\end{eqnarray}

auf natürliche Weise ein affiner Raum mit dem zugehörigen Vektorraum \begin{eqnarray}\text{Home}(E/L,L)=\{\lambda :E\to L,\lambda |L=0\},\end{eqnarray}

der durch \begin{eqnarray}P\in {D}_{+}(L)\mapsto P+\lambda =\{Y+\lambda (Y)|Y\in P\}\end{eqnarray}

auf D+ (L) operiert. Wenn P1D+ (L) ist, so ist E = P1L = PL, und die Differenz der zugehörigen Projektionen auf L liefert ein λ ∈ Hom(E/L, L) mit P1 = P + λ.

Ist E der Vektorraum der affinen Funktionen auf einem affinen Raum A, und LE der Unterraum der konstanten affinen Funktionen, so ist D+ (L)das Bild von A bei der Einbettung A → ℙ(E).

Wenn XL \ 0 ist, schreibt man auch D+ (X) statt D+ (L), und ist (X0, …, Xn) Basis von E, so ist \begin{eqnarray}{D}_{+}({X}_{0})\cup \cdots \cup {D}_{+}({X}_{n})={\mathbb{P}}(E).\end{eqnarray}

Ist P ∈ ℙ(E) und λ eine Linearform, die P definiert, so ist λ und damit P durch \begin{eqnarray}(\lambda ({X}_{0}),\ldots, \lambda ({X}_{n}))\in {k}^{n+1}\end{eqnarray}

bestimmt, und ebenso die λ(Xj) bis auf einen gemeinsamen Faktor aus k durch H. Für die Klasse dieses (n + 1)-Tupels mod k schreibt man daher (X0 (P) : · · · : Xn(P)), und nennt diese Klasse bzw. auch jeden Vertreter aus dieser Klasse die homogenen Koordinaten von P (bzgl. X0, …, Xn).

Auf jedem D+ (Xj) erhält man daraus affine Koordinaten, z. B. auf D+ (X0) durch \begin{eqnarray}P\mapsto \left(\frac{{X}_{1}(P)}{{X}_{0}(P)},\ldots, \frac{{X}_{n}(P)}{{X}_{0}(P)}\right).\end{eqnarray}

ℙ(E) ist die Menge der k-rationalen Punkte eines k-Schemas, das wir ebenfalls mit ℙ(E) bezeichnen, und dessen funktorielle Beschreibung auf der Kategorie der kommutativen k-Algebren durch \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{\mathbb{P}}(E)(A) & = & {\text{Home}}_{k}(\text{Spec}(A),{\mathbb{P}}(E))\\ & = & \{P\subset A{\otimes }_{k}E|A{\otimes }_{k}E/P\\ & & \text{lokal frei vom Rang}1\}\end{array}\end{eqnarray}

gegeben ist. Dabei entsprechen die D+ (X) offenen affinen Unterschemata.

Wenn k = ℝ bzw. k = ℂ ist, sind ℙ(E) kompakte reelle bzw. komplexe analytische Mannigfaltigkeiten. Einen Atlas erhält man durch die Überdeckung D+ (X0), …, D+ (Xn) und die darauf gegebenen affinen Koordinaten. Eine euklidische bzw. hermitesche Metrik auf E induziert eine Riemannsche bzw. Kählersche Metrik auf ℙ(E) (Fubini-Study-Metrik), so wird z. B. die Einbettung von ℙ(E)in den Raum S(E) der selbstadjungierten Operatoren auf E induziert von der natürlichen Metrik aus S(E), die für AS(E) gegeben ist durch die Spur des Quadrats: \begin{eqnarray}A\mapsto ||A|{|}^{2}=Tr{(A)}^{2}.\end{eqnarray}

Die Einbettung von ℙ(E) in S(E) erhält man, indem man jedem P ∈ ℙ(E) den orthogonalen Projektionsoperator von E mit dem Kern P zuordnet. Ist SE die Einheitssphäre, erhält man stetige Abbildungen \begin{eqnarray}S\to {\mathbb{P}}(E)\subset S(E)\end{eqnarray}

durch ePeAe, wobei Pe = das orthogonale Komplement von e ist, und \begin{eqnarray}{A}_{e}(x)=\langle e,x\rangle e.\end{eqnarray}

Hier ist ⟨,⟩ das euklidische bzw. hermitesche Skalarprodukt.

Die Abbildung S → ℙ(E) ist ein Hauptfaserbündel mit der Gruppe {±1} bzw. U(1). Das Bild von ℙ(E) ⊂ S(E) liegt in dem affinen Unterraum \begin{eqnarray}\{A\in S(E)|Tr(A)=1\},\end{eqnarray}

und wenn dim(E) = 2, also für die projektive Gerade über ℝ bzw. über ℂ, wird ℙ(E) isomorph auf die Sphäre S1 bzw. S2 in diesem Unterraum mit der Gleichung \begin{eqnarray}||A-\frac{1}{2}I|{|}^{2}=\frac{1}{2}\end{eqnarray}

abgebildet.

Im Kontext endliche Geomatrie ist ein projektiver Raum eine Inzidenzstruktur aus Punkten und Geraden, die die folgenden Axiome erfüllt:

  • Durch je zwei Punkte geht genau eine Gerade.
  • Sind A, B, C, D vier Punkte, so daß die Geraden AB und CD einen Punkt gemeinsam haben, so haben auch AC und BD einen Punkt gemeinsam. (Veblen-Youmg-Axiom).
  • Es gibt vier Punkte, von denen keine drei kollinear sind.

Ein Unterraum eines projektiven Raumes ist eine Menge von Punkten, von denen je zwei durch eine Gerade verbunden sind. Oft wird unter einem projektiven Raum die ganze Struktur aus Punkten und Unterräumen verstanden.

Jede projektive Ebene ist auch ein projektiver Raum. In allen anderen projektiven Räumen gilt der Satz von Desargues.

Ist V ein Vektorraum über einem Schiefkörper K, ist 𝒫 die Menge der eindimensionalen Unterräume von V und \({{\mathcal{L}}}\) die Menge der zweidimensionalen Unterräume von V, so ist (mit dem „Enthaltensein“ als Inzidenz) (𝒫, \({{\mathcal{L}}}\), I) ein projektiver Raum. Die Unterräume dieses projektiven Raumes sind gerade die Unterräume von V. Die auf diese Art erhaltenen projektiven Räume sind genau diejenigen Räume, in denen der Satz von Desargues gilt. Ist K sogar ein Körper, so erhält man einen projektiven Raum, in dem der Satz von Pappos gilt. Wählt man V = Kn, und ist P = ⟨v⟩ ∈ 𝒫 (vV), so liefern die Einträge von v homogene Koordinaten des Punktes P.

Projektive Räume lassen sich aus affinen Räumen gewinnen, indem man unendliche Punkte hinzufügt. Entfernt man umgekehrt eine Hyperebene mit all ihren Unterräumen aus einem projektiven Raum, so erhält man einen affinen Raum.

Ist die Menge der Punkte eines projektiven Raumes endlich, so spricht man von einem endlichen projektiven Raum. In einem solchen enthält jede Gerade die gleiche Anzahl q + 1 von Punkten. Die Zahl q heißt Ordnung des projektiven Raumes.

Projektive Räume sind Gebäude vom Typ An. Sie bilden einen Grundpfeiler der endlichen Geometrie.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos