eine invariante Kählersche Metrik g auf dem n-dimensionalen komplexen projektiven Raum Pⁿ(ℂ).

Pⁿ(ℂ) ist definiert als Menge der eindimensionalen komplexen linearen Unterräume \(\mathbb{L}=\mathbb{C}\overrightarrow{z}\subset \mathbb{C}^{n+1}\). Ein Punkt 𝕃 von Pⁿ(ℂ) ist demnach als Menge aller komplexen Vielfachen eines festen Vektors \(\overrightarrow{Z}=(z^{0},z^{1},\ldots,z^{n})\in \mathbb{C}^{n+1}\) mit \(\overrightarrow{z} \neq 0\) definiert. Die Zahlen z⁰, z¹, …, zⁿ sind die homogenen Koordinaten von 𝕃.

Wählt man einen festen Index j, so bilden auf der durch z^j ≠ 0 definierten Menge U_j von Pⁿ (ℂ) die durch tⁱ = zⁱ/z^j gegebenen komplexen Zahlen t⁰, …, t^j−1, t^j+1, …, tⁿ ein Koordinatensystem.

Betrachtet man die auf U_j durch \begin{equation} f_{j}(\mathbb{L})=\sum_{k=0}^{n}t^{k}t^{\bar{k}} \end{equation} definierten Funktionen f_j, so gilt die Gleichung \begin{equation} f_{j}(\mathbb{L})=f_{i}\frac{z^{i}z^{\bar{i}}}{z^{j}\bar{z}^{j}} \end{equation} für alle 𝕃 ∈ U_j ⋂ U_i. Somit unterscheiden sich die Logarithmen ln (f_j (𝕃)) und ln (f_i((𝕃)) nur um eine Konstante. Daraus leitet man die Gleichung \begin{equation} \partial\ \bar\partial \in f_{j}=\partial\ \bar{\partial}\ \ln\ f_{i} \end{equation} her, die zeigt, daß durch \begin{equation} \Phi=-4\sqrt{-1}\ \partial\ \bar{\partial}\ \ln\ f_{j} \end{equation} eine geschlossene (1, 1)-Form, die Fubini-Study-Form von Pⁿ(𝕃), definiert wird.

Darin sind ∂ und \(\bar{\partial}\) die Operatoren, die einer Funktion f(w₁, …, w_n) von n komplexen Variablen w_l = x_l + iy_l die Differentialformen \begin{equation} \bar\partial(f)=\sum^{n}_{l=1}\frac{\partial f}{\partial \bar{w}_{l}}d\bar{w}_{l} \ \mathrm{und}\ \partial(f)=\sum^{n}_{l=1}\frac{\partial f}{\partial w_{l}}d w_{l} \end{equation} zuordnen, wobei \begin{equation} \frac{\partial }{\partial w_{l}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_{l}}-i\frac{\partial}{\partial y_{l}}\right),\frac{\partial}{\partial \bar{w}_{l}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_{l}}+i\frac{\partial}{\partial y_{l}}\right) \end{equation} die Wirtinger-Ableitungen sind.

Aus der Fubini-Study-Form Φ gewinnt man über die Gleichung g(X, Y) = Φ(JX, Y) die Fubini- Study-Metrik g, wobei X und Y Tangentialvektoren sind und J die komplexe Struktur von Pⁿ (ℂ), d. h., die lineare Abbildung, die einem komplexen Tangentialvektor X den Tangentialvektor \(\sqrt{-1}X\) zuordnet.

Aus der Konstruktion ergibt sich, daß sowohl die Form Φ als auch die Metrik g bezüglich der Wirkung der unitären Gruppe U(n + 1) auf Pⁿ(ℂ) invariant sind.

Betrachtet man das obige Koordinatensystem für j = 0, so ergibt sich in den Koordinaten (t¹, …, tⁿ) die folgende lokale Beschreibung des Bogenelements d s² von g: \begin{eqnarray}\frac{d{s}^{2}}{4}=\frac{\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{n}d{t}^{\alpha }d{t}^{\bar{\alpha }}}{1+\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{n}{t}^{\alpha }{t}^{\bar{\alpha }}}-\frac{\left(\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{n}{t}^{\alpha }d{t}^{\bar{\alpha }}\right)\left(\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{n}d{t}^{\alpha }{t}^{\bar{\alpha }}\right)}{{\left(1+\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{n}{t}^{\alpha }{t}^{\bar{\alpha }}\right)}^{2}}.\end{eqnarray}