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Lexikon der Mathematik: Fubini-Study-Metrik

eine invariante Kählersche Metrik g auf dem n-dimensionalen komplexen projektiven Raum Pn(ℂ).

Pn(ℂ) ist definiert als Menge der eindimensionalen komplexen linearen Unterräume \(\mathbb{L}=\mathbb{C}\overrightarrow{z}\subset \mathbb{C}^{n+1}\). Ein Punkt 𝕃 von Pn(ℂ) ist demnach als Menge aller komplexen Vielfachen eines festen Vektors \(\overrightarrow{Z}=(z^{0},z^{1},\ldots,z^{n})\in \mathbb{C}^{n+1}\) mit \(\overrightarrow{z} \neq 0\) definiert. Die Zahlen z0, z1, …, zn sind die homogenen Koordinaten von 𝕃.

Wählt man einen festen Index j, so bilden auf der durch zj ≠ 0 definierten Menge Uj von Pn (ℂ) die durch ti = zi/zj gegebenen komplexen Zahlen t0, …, tj−1, tj+1, …, tn ein Koordinatensystem.

Betrachtet man die auf Uj durch \begin{equation} f_{j}(\mathbb{L})=\sum_{k=0}^{n}t^{k}t^{\bar{k}} \end{equation} definierten Funktionen fj, so gilt die Gleichung \begin{equation} f_{j}(\mathbb{L})=f_{i}\frac{z^{i}z^{\bar{i}}}{z^{j}\bar{z}^{j}} \end{equation} für alle 𝕃 ∈ UjUi. Somit unterscheiden sich die Logarithmen ln (fj (𝕃)) und ln (fi((𝕃)) nur um eine Konstante. Daraus leitet man die Gleichung \begin{equation} \partial\ \bar\partial \in f_{j}=\partial\ \bar{\partial}\ \ln\ f_{i} \end{equation} her, die zeigt, daß durch \begin{equation} \Phi=-4\sqrt{-1}\ \partial\ \bar{\partial}\ \ln\ f_{j} \end{equation} eine geschlossene (1, 1)-Form, die Fubini-Study-Form von Pn(𝕃), definiert wird.

Darin sind und \(\bar{\partial}\) die Operatoren, die einer Funktion f(w1, …, wn) von n komplexen Variablen wl = xl + iyl die Differentialformen \begin{equation} \bar\partial(f)=\sum^{n}_{l=1}\frac{\partial f}{\partial \bar{w}_{l}}d\bar{w}_{l} \ \mathrm{und}\ \partial(f)=\sum^{n}_{l=1}\frac{\partial f}{\partial w_{l}}d w_{l} \end{equation} zuordnen, wobei \begin{equation} \frac{\partial }{\partial w_{l}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_{l}}-i\frac{\partial}{\partial y_{l}}\right),\frac{\partial}{\partial \bar{w}_{l}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_{l}}+i\frac{\partial}{\partial y_{l}}\right) \end{equation} die Wirtinger-Ableitungen sind.

Aus der Fubini-Study-Form Φ gewinnt man über die Gleichung g(X, Y) = Φ(JX, Y) die Fubini- Study-Metrik g, wobei X und Y Tangentialvektoren sind und J die komplexe Struktur von Pn (ℂ), d. h., die lineare Abbildung, die einem komplexen Tangentialvektor X den Tangentialvektor \(\sqrt{-1}X\) zuordnet.

Aus der Konstruktion ergibt sich, daß sowohl die Form Φ als auch die Metrik g bezüglich der Wirkung der unitären Gruppe U(n + 1) auf Pn(ℂ) invariant sind.

Betrachtet man das obige Koordinatensystem für j = 0, so ergibt sich in den Koordinaten (t1, …, tn) die folgende lokale Beschreibung des Bogenelements d s2 von g: \begin{eqnarray}\frac{d{s}^{2}}{4}=\frac{\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{n}d{t}^{\alpha }d{t}^{\bar{\alpha }}}{1+\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{n}{t}^{\alpha }{t}^{\bar{\alpha }}}-\frac{\left(\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{n}{t}^{\alpha }d{t}^{\bar{\alpha }}\right)\left(\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{n}d{t}^{\alpha }{t}^{\bar{\alpha }}\right)}{{\left(1+\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{n}{t}^{\alpha }{t}^{\bar{\alpha }}\right)}^{2}}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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