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Lexikon der Mathematik: Gebäude

Building, ein numerierter simplizialer Komplex Δ zusammen mit einer Familie \({\mathscr{S}}\) von Unterkomplexen von Δ so, daß gilt:

  • Die Elemente von \({\mathscr{S}}\)sind Coxeter-Komplexe.
  • Für je zwei Elemente A, B ∈ Δ gibt es ein \({\rm{\Sigma }}\space \in \space {\mathscr{S}}\) mit A, B ∈ ∑.
  • Für Σ, \({\rm{\Sigma }}^{\prime} \in {\mathscr{S}}\) und A, B ∈ Σ ∩ Σ′ gibt es einen Isomorphismus Σ → Σ′, der A, B punktweise festläßt.

Die Elemente von \({\mathscr{S}}\)werden Appartements genannt.

Sind die Elemente von \({\mathscr{S}}\)Coxeter-Komplexe vom Diagrammtyp I2(m), so ist ein Gebäude ein verallgemeinertes m-Eck (verallgemeinertes Polygon). Gebäude vom Typ An sind projektive Räume der Dimension n. Gebäude vom Typ Cn sind Polarräume. Gebäude vom Typ Dn sind hyperbolische Quadriken.

Gebäude lassen sich auch mit Hilfe von Gruppen definieren. Die Bedeutung der Gebäude liegt darin, daß sie vorgebbare Lie-Gruppen und Chevalley- Gruppen als Automorphismengruppen haben. Somit dienen sie der geometrischen Veranschaulichung dieser Gruppen. Die sphärischen Gebäude (d. h. Gebäude, deren Appartements endlich sind) sind vollständig klassifiziert. Die Theorie der Gebäude bildet einen Grundpfeiler der endlichen Geometrie. Eine Verallgemeinerung der Theorie der Gebäude liefert die Diagrammgeometrie.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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