eine nichtleere offene zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes, meist des ℝⁿ oder ℂⁿ.

Am meisten verbreitet ist der Begriff des Gebiets vermutlich in der Funktionentheorie, wo man darunter eine Teilmenge G der o.g. Art von ℂ versteht.

Je zwei Punkte in G lassen stets durch einen achsenparallelen Polygonzug in G verbinden.

Jede offene Kreisscheibe ist ein Gebiet. Ebenso sind ℂ und ℂ* = ℂ \ {0} Gebiete. Gebiete können aber auch sehr kompliziert aussehen, wie die Abbildung zeigt.

Ein Gebiet G ⊂ ℂ heißt einfach zusammenhängend, falls jeder geschlossene Weg in G null-homotop in G ist. Eine äquivalente Bedingung ist, daß das Komplement \(\hat{{\mathbb{C}}}\space \backslash \space G\) von G in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) genau eine Zusammenhangskomponente besitzt. Diese ist automatisch unbeschränkt, d. h. sie enthält den Punkt ∞. Weitere äquivalente Bedingungen findet man unter dem Stichwort Hauptsatz der Cauchy-Theorie. Jede offene Kreisscheibe ist einfach zusammenhängend.

Ist G nicht einfach zusammenhängend, so heißt G mehrfach zusammenhängend. Falls \(\hat{{\mathbb{C}}}\space \backslash \space G\) aus genau n ∈ ℕ Zusammenhangskomponenten besteht, so heißt G n-fach zusammenhängend.

Ist G (n + 1)-fach zusammenhängend, n ∈ ℕ, so besitzt G genau eine unbeschränkte und genau n beschränkte Komponenten. Diese nennt man Löcher von G. Zum Beispiel ist jede offene Kreisscheibe, aus der man n disjunkte abgeschlossene Kreisscheiben entfernt, ein n-fach zusammenhängendes Gebiet. Ein zweifach zusammenhängendes Gebiet heißt auch Ringgebiet. Jeder Kreisring \begin{eqnarray}\{z\in {\mathbb{C}}:0\le r\lt \space |z|\space \lt R\le \infty \}\end{eqnarray} ist ein solches Gebiet.

Enthält \(\hat{{\mathbb{C}}}\space \backslash \space G\) unendlich viele Komponenten, so heißt G unendlichfach zusammenhängend. Ein solches Gebiet ist zum Beispiel \begin{eqnarray}{\mathbb{C}}\backslash \displaystyle \mathop{\cup }\limits_{n\in {\mathbb{Z}}}\{z\in {\mathbb{C}}:\space |z-n|\space \lt \frac{1}{4}\},\end{eqnarray}