Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Gebiet

eine nichtleere offene zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes, meist des ℝn oder ℂn.

Am meisten verbreitet ist der Begriff des Gebiets vermutlich in der Funktionentheorie, wo man darunter eine Teilmenge G der o.g. Art von ℂ versteht.

Je zwei Punkte in G lassen stets durch einen achsenparallelen Polygonzug in G verbinden.

Jede offene Kreisscheibe ist ein Gebiet. Ebenso sind ℂ und ℂ* = ℂ \ {0} Gebiete. Gebiete können aber auch sehr kompliziert aussehen, wie die Abbildung zeigt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Gebiet
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
 Bild vergrößern

Ein Gebiet

Ein Gebiet G ⊂ ℂ heißt einfach zusammenhängend, falls jeder geschlossene Weg in G null-homotop in G ist. Eine äquivalente Bedingung ist, daß das Komplement \(\hat{{\mathbb{C}}}\space \backslash \space G\) von G in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) genau eine Zusammenhangskomponente besitzt. Diese ist automatisch unbeschränkt, d. h. sie enthält den Punkt ∞. Weitere äquivalente Bedingungen findet man unter dem Stichwort Hauptsatz der Cauchy-Theorie. Jede offene Kreisscheibe ist einfach zusammenhängend.

Ist G nicht einfach zusammenhängend, so heißt G mehrfach zusammenhängend. Falls \(\hat{{\mathbb{C}}}\space \backslash \space G\) aus genau n ∈ ℕ Zusammenhangskomponenten besteht, so heißt G n-fach zusammenhängend.

Ist G (n + 1)-fach zusammenhängend, n ∈ ℕ, so besitzt G genau eine unbeschränkte und genau n beschränkte Komponenten. Diese nennt man Löcher von G. Zum Beispiel ist jede offene Kreisscheibe, aus der man n disjunkte abgeschlossene Kreisscheiben entfernt, ein n-fach zusammenhängendes Gebiet. Ein zweifach zusammenhängendes Gebiet heißt auch Ringgebiet. Jeder Kreisring \begin{eqnarray}\{z\in {\mathbb{C}}:0\le r\lt \space |z|\space \lt R\le \infty \}\end{eqnarray} ist ein solches Gebiet.

Enthält \(\hat{{\mathbb{C}}}\space \backslash \space G\) unendlich viele Komponenten, so heißt G unendlichfach zusammenhängend. Ein solches Gebiet ist zum Beispiel \begin{eqnarray}{\mathbb{C}}\backslash \displaystyle \mathop{\cup }\limits_{n\in {\mathbb{Z}}}\{z\in {\mathbb{C}}:\space |z-n|\space \lt \frac{1}{4}\},\end{eqnarray}

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos