gewöhnliche Differentialgleichung in 𝓏 der Form \begin{eqnarray}\frac{{d}^{2}w}{d{z}^{2}} & + & \left(\frac{1-\alpha -{\alpha }^{^{\prime} }}{z-a}+\frac{1-\beta -{\beta }^{^{\prime} }}{z-b}+\frac{1-\gamma -{\gamma }^{^{\prime} }}{z-c}\right)\frac{dw}{dz}\\ & + & \left(\right.\frac{\alpha {\alpha }^{^{\prime} }(a-b)(a-c)}{z-a}+\frac{\beta {\beta }^{^{\prime} }(b-c)(b-a)}{z-b}+\\ & & +\frac{\gamma {\gamma }^{^{\prime} }(c-a)(c-b)}{z-c}\left.\right)\frac{w}{(z-a)(z-b)(z-c)}\\ & = & 0,\end{eqnarray}

wobei a, b, c und α, β, γ , α^′, β^′, γ^′ beliebige komplexe Zahlen mit der Nebenbedingung \begin{eqnarray}\alpha +{\alpha }^{^{\prime} }+\beta +{\beta }^{^{\prime} }+\gamma +{\gamma }^{^{\prime} }=1\end{eqnarray}

sind. Die Zahlen a, b und c heißen aus offensichtlichen Gründen die „Singularitäten“ der Differentialgleichung, die kleinen griechischen Buchstaben α, α^′ usw. die „Exponenten“. Diese Nomenklatur rührt daher, daß sich bis auf Ausnahmefälle jeweils zwei linear unabhängige Lösungen der allgemeinen hypergeometrischen Differentialgleichung finden lassen, die sich in der Umgebung der Singularitäten a, b und c jeweils wie 𝓏^α und \begin{eqnarray}{z}^{{\alpha }^{^{\prime} }}\end{eqnarray}, 𝓏^β, \begin{eqnarray}{z}^{{\beta }^{^{\prime} }}\end{eqnarray} usw. verhalten.

Die Lösungen dieser Differentialgleichung notiert man abkürzend auch mit dem Symbol \begin{eqnarray} w = P \left\{ {\begin{array}{cccc} a & b & c & {} \\ \alpha & \beta & \gamma & z \\ {\alpha}^{\prime} & {\beta}^{\prime} & {\gamma}^{\prime} & {} \\ \end{array} } \right\}.\end{eqnarray}

Spezialfälle der allgemeinen hypergeometrischen Gleichung sind die gewöhnliche hypergeometrische Gleichung: \begin{eqnarray} w = P = \left\{ {\begin{array}{cccc} 0 & \infty & 1 & {} \\ 0 & a & 0 & z \\ {1 – c} & b & {c – a – b} & {} \\ \end{array} } \right\}, \end{eqnarray}

die Legendre-Differentialgleichung: \begin{eqnarray}w = P\left\{ {\begin{array}{cccc} 0 & \infty & 1 & \\ { – \frac{v}{2}} & {\frac{\mu }{2}} & 0 & {(1 – z^2 )^{ – 1} } \\ {\frac{{v + 1}}{2}} & { – \frac{\mu }{2}} & {\frac{1}{2}} & \end{array} } \right\},\end{eqnarray}

und die konfluente hypergeometrische Differentialgleichung: \begin{eqnarray}w = P\left\{ {\begin{array}{cccc} 0 & \infty & c & {} \\ {\frac{1} {2} + u} & { – c} & {c – k} & z \\ {\frac{1} {2} – u} & 0 & k & {} \\ \end{array} } \right\}\end{eqnarray}

im Grenzfall c → ∞.

Unterwirft man nun die allgemeine hyper-geometrische Differentialgleichung einer Möbius-Transformation, die die Singularitäten a, b und c entweder auf sich oder auf die Punkte a₁, b₁ und c₁ abbildet, so findet man die folgenden Transformationsregeln: \begin{array}{cccc} {\left( {\frac{{z – a}} {{z – b}}} \right)^k \left( {\frac{{z – c}} {{z – b}}} \right)^l P\left\{ {\begin{array}{cccc} a & b & c & {} \\ \alpha & \beta & \gamma & z \\ {\alpha^{\prime}} & {\beta^{\prime}} & {\gamma^{\prime}} & {} \\ \end{array} } \right\}} \\ { = P\left\{ {\begin{array}{cccc} a & b & c & {} \\ {\alpha + k} & {\beta – k – l} & {\gamma + l} & z \\ {\alpha^{\prime} + k} & {\beta^{\prime} – k – l} & {\gamma^{\prime} + l} & {} \\ \end{array} } \right\}} \hfill \\ \end{array}

sowie \begin{eqnarray}P\left\{ {\begin{array}{cccc} a & b & c & {} \\ \alpha & \beta & \gamma & z \\ {\alpha^{\prime}} & {\beta^{\prime}} & {\gamma^{\prime}} {} \\ \end{array} } \right\} = P\left\{ {\begin{array}{cccc} {a_1 } & {b_1 } & {c_1 } & {} \\ {\alpha + k} & {\beta – k – l} & {\gamma + 1} & {z_1 } \\ {\alpha^{\prime} + k} & {\beta^{\prime} – k – l} & {\gamma^{\prime} + l} & {} \\ \end{array} } \right\},\end{eqnarray}

wobei gelte \begin{eqnarray}{\mathscr{z}}=\frac{A{z}_{1}+B}{C{{\mathscr{z}}}_{1}+D} & a=\frac{A{a}_{1}+B}{C{a}_{1}+D}\\ b=\frac{A{b}_{1}+B}{C{b}_{1}+D} & c=\frac{A{c}_{1}+B}{C{c}_{1}+D}.\end{eqnarray}

Hierbei sind A, B, C und D beliebig unter der Nebenbedingung AD − BC ≠ 0.

Mit diesen Transformationsregeln läßt sich jede Lösung der allgemeinen hypergeometrischen Differentialgleichung durch Lösungen der gewöhnlichen hypergeometrischen Differentialgleichung ausdrücken, und insbesondere erhält man also eine Lösung aus der hypergeometrischen Funktion F: \begin{eqnarray}w & = & {\left(\frac{z-a}{z-b}\right)}^{\alpha }{\left(\frac{z-c}{z-b}\right)}^{\gamma }.\\ & & F(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +{\beta }^{\prime} +\gamma ;\\ & & 1-\alpha -{\alpha }^{\prime };\frac{(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}\left.\right).\end{eqnarray}

Weitere linear unabhängige Lösungen kann man dann durch die obigen Transformationsregeln oder direkt aus der Theorie der hypergeometrischen Funktionen konstruieren.

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.
[2] Erdélyi, A.: Higher transcendential functions, vol. 1. McGraw-Hill, 1953.
[3] Klein, F.: Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion. Springer, 1933.