Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Analytische Menge

Menge, die lokal als Nullstellenmenge holomorpher Funktionen darstellbar ist. Sei B ⊂ ℂn ein Bereich, M ⊂ B eine Teilmenge und ζ0 ∈ B ein Punkt. M heißt analytisch in ζ0, wenn es ein offene Umgebung U = U(ζ0) ⊂ B und holomorphe Funktionen f1, ..., fl in U gibt so, daß \begin{eqnarray} U \cap M = \{ \zeta \in U : f_1 (\zeta) = \: ... \: = f_1 (\zeta) = 0 \} \end{eqnarray} ist. M heißt analytisch in B, falls M in jedem Punkt von B analytisch ist. Eine in B analytische Menge M ist abgeschlossen in B.

I.allg. kann man analytische Mengen nicht durch globale Gleichungen darstellen. Mit Mitteln der Garbentheorie läßt sich aber der folgende Satz beweisen:

Sei G ⊂ ℂn ein Holomorphiegebiet, M ⊂ G analytisch. Dann gibt es holomorphe Funktionen f1, ... , fn+1 auf G so, daß\begin{eqnarray} M = \{ \zeta \in G: f_1 (\zeta) = \: ... \: = f_{n+1} (\zeta) = 0 \} \end{eqnarray} ist.

Sei G ⊂ ℂn ein Gebiet, M analytisch in G. Ein Punkt ζ0 ∈ M heißt regulärer (gewöhnlicher, glatter Punkt) von M (der Dimension 2k), falls es eine offene Umgebung U(ζ0) ⊂ G und holomorphe Funktionen f1, ... , fn-k auf U gibt, so daß gilt: \begin{eqnarray} 1) U \cap M = \{ \zeta \in U : f_1 (\zeta) = \: ... \: = f_{n-k} (\zeta) = 0 \}, \: und\\2) Rang \bigg ( \big ( \frac{\partial f_i}{\partial z_j} (\zeta_0) \big ) \begin{array}{} i=1,...,n-k\\j=1,...,n\end{array} \bigg ) = n – k. \end{eqnarray} Ein Punkt ζ0 ∈ M heißt singulär, falls er nicht regulär ist. Mit S(M) bezeichnet man die Menge der singulären Punkte von M.

Es gilt folgender Satz:

Sei G ⊂ ℂn ein Gebiet, M analytisch in G und ζ0 ∈ M ein regulärer Punkt der Dimension 2k. Dann gibt es eine offene Umgebung V(ζ0) ⊂ G, so daß M ∩ V biholomorph äquivalent zu einem Ebenenstück der reellen Dimension 2k ist.

Sei G ⊂ ℂn ein Gebiet, M analytisch in G. Dann ist die Menge S(M) der singulären Punkte von M eine in M nirgends dichte analytische Teilmenge von G.

Eine analytische Menge M heißt reduzibel, wenn es analytische Teilmengen Mi ⊂ G, i = 1, 2, gibt, so daß gilt:

  1. M = M1 ∪ M2.
  2. Mi ≠ M für i = 1, 2.

Ist M nicht reduzibel, so nennt man die Menge irreduzibel. Es gilt folgende Aussage:

Sei G ⊂ ℂn ein Gebiet, M analytisch in G. Dann gibt es ein abzählbares System (Mi) von irreduziblen analytischen Teilmengen von G, so daß gilt:

  1. i ∈ ℕ Mi = M
  2. Das System (Mi)i ∈ ℕ ist lokal-finit in G.
  3. Ist Mi1 ≠ Mi2, so ist auch Mi1 ⊄ Mi2.
Man spricht von einer Zerlegung von M in irreduzible Komponenten. Diese Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt.

Weiterhin gilt:

Ist M eine irreduzible analytische Menge in G und f eine holomorphe Funktion in G mit f|M ≠ 0, so ist \begin{eqnarray} dim_{\mathbb{C}} (M \cap \{ \zeta \in G: f (\zeta) = 0 \}) = dim_{\mathbb{C}} (M) – 1. \end{eqnarray} Darüber hinaus gilt sogar für jede irreduzible Komponente N ⊂ M ∩ 4 {ζ ∈ G : f(ζ) = 0}: \begin{eqnarray} dim_{\mathbb{C}} (N) = dim_{\mathbb{C}} (M) – 1. \end{eqnarray}

Als Folgerung ergibt sich:

Sei G ⊂ ℂn ein Gebiet, und f1, ... , fn-k holomorphe Funktionen in G, \begin{eqnarray} M := \{ \zeta \in G : f_1 (\zeta) = \: ... \: = f_{n-k} (\zeta) = 0 \}, \end{eqnarray} M' ⊂ M eine irreduzible Komponente.

Dann ist dim (M') ≥ k.

Wir geben ein Beispiel einer analytischen Menge:

Sei ƒ : ℂn → ℂ definiert durch \begin{eqnarray} f (z_1, \: ... \: , z_n ) := z_1^{s_1} + \: ... \: + z_n^{s_n} \end{eqnarray} mit si ∈ ℕ, si ≥ 2. Sei M := {ζ ∈ ℂn : ƒ (ζ) = 0}. Es ist 0 = ƒzi (z1, ... , zn) = si • zsi-1i genau dann, wenn zi = 0 ist. Das bedeutet, daß höchstens der Nullpunkt als Singularität in Frage kommt. Man kann zeigen, daß S(M) = {0} gilt.

Offensichtlich gehört M zu der Schar (Mt)t ∈ ℂ von analytischen Mengen, die durch \begin{eqnarray} M_t = \{ (z_1, \: ... \: , z_n ) \in \mathbb{C}^n : z_1^{s_1} + \: ... \: + z_n^{s_n} = t \} \end{eqnarray} gegeben ist. Es ist M = M0 eine analytische Menge mit einer isolierten Singularität im Nullpunkt, während alle Mengen Mt mit t ≠ 0 regulär sind.

Zum Schluß noch eine andersartige Charakterisierung analytischer Mengen im Kontext Polnischer Räume: Eine analytische Menge ist eine Teilmenge eines Polnischen Raumes, die stetiges Bild eines ebensolchen Raumes ist, d.h:

Es sei Ω ein Polnischer Raum. Eine Untermenge M von Ω ist analytische Menge in Ω, wenn es einen Polnischen Raum Ω' und eine stetige Abbildung ƒ : Ω' → Ω gibt mit ƒ(Ω') = M. Jede Borel-Menge in Ω ist beispielsweise analytisch. Jede nicht-leere analytische Menge M von Ω ist Bild von unter einer stetigen Abbildung.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos