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Lexikon der Mathematik: Arnold-Katze

Kurzbezeichnung für einen hyperbolischen Torus-Automorphismus, wichtiges Beispiel eines diskreten topologischen dynamischen Systems.

Auf dem Torus \({{\mathbb{T}}}^{2}:={S}^{1}\times {S}^{1}\) betrachten wir die durch die Matrix \(A:=(2 & 1\\ 1 & 1)\) definierte lineare Abbildung xÂx := Ax(mod 1).

Stattet man \({{\mathbb{T}}}^{2}\) mit der Produkttopologie von S1 aus, so induziert  ein diskretes topologisches dynamisches System mit der Gruppe ℤ bzw. der Halbgruppe ℕ0.

Die Wirkung dieses Automorphismus kann man sich als eine Streckung in der Ebene vorstellen, bei der nach Anwendung von A in ℝ2 durch Ausschneiden und Übereinanderlegen die Wirkung auf dem Torus \({{\mathbb{T}}}^{2}\) entsteht.

Der hyperbolische Torus-Automorphismus ist flächentreu, und für ihn bilden genau die Punkte von \({{\mathbb{T}}}^{2}\) mit rationalen Koordinaten die Punkte endlicher periodischer Orbits.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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