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Lexikon der Mathematik: autoregressiver Prozeß

AR(p)-Prozeß, ein stochastischer Prozeß (X(t))tT mit diskretem Zeitbereich T = {…, −1, 0, 1, …}, der der Gleichung

\begin{eqnarray}X(t)=\displaystyle \sum _{k=1}^{p}{a}_{k}X(t-k)+\varepsilon (t)\end{eqnarray}

genügt. Dabei sind die Koeffizienten ak, für k = 1, …, p reelle Zahlen mit ap ≠ 0, und (ϵ(t))tT eine Folge unkorrelierter Zufallsgrößen mit dem Erwartungswert E(ϵ(t)) = 0 und der Varianz V(ϵ(t)) = σϵ2 für alle t ϵ T. Die Zahl p heißt Ordnung des autoregressiven Prozesses (genauer spricht man hier auch von einem autoregressiven Prozeß der Ordnung p).

(X(t))tT ist im weiteren Sinne stationär, falls alle komplexen Nullstellen des Polynoms

\begin{eqnarray}P(z)=1+\displaystyle \sum _{k=1}^{p}{a}_{k}{z}^{k}\end{eqnarray}

außerhalb des Einheitskreises liegen. In diesem Fall lassen sich die Autokovarianzen aus den sogenannten Yule-Walker-Gleichungen bestimmen:

\begin{eqnarray}\sigma (0)=\displaystyle \sum _{k=1}^{p}\sigma (k)+{\sigma }_{\varepsilon }^{2}\\ \sigma (k)=\sigma (-k)=\displaystyle \sum _{j=1}^{p}\sigma (k-j),k=1,2,\mathrm{..},\end{eqnarray}

und für die Spektraldichte ergibt sich:

\begin{eqnarray}f(\lambda )=\frac{{\sigma }_{\varepsilon }^{2}}{2\pi }|1+\displaystyle \sum _{k=1}^{p}{a}_{k}{e}^{i\lambda k}{|}^{-2},-\pi \le \lambda \lt \pi.\end{eqnarray}

Jeder im weiteren Sinne stationäre autoregressive Prozeß läßt sich als Moving-Average-Prozeß unendlicher Ordnung (Prozeß der gleitenden Mittel) darstellen.

Autoregressive Prozesse werden in der Zeitreihenanalyse zur Modellierung stochastischer zeitabhängiger Vorgänge angewendet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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