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Lexikon der Mathematik: Brun, Satz von

zahlentheoretische Aussage im Zusammenhang mit der Verteilung von Primzahlzwillingen.

Der Satz besagt, daß die Reihe \({\rm{\Sigma }}\frac{1}{p}\) konvergiert, wobei p alle Primzahlen durchläuft, die Element eines Primzahlzwillingspaares sind, also

\begin{eqnarray}(\frac{1}{3}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13})\\ (\frac{1}{17}+\frac{1}{19})+(\frac{1}{29}+\frac{1}{31})+\cdots \end{eqnarray}

(Das doppelte Auftreten der Zahl 5 ist in der Literatur nicht ganz einheitlich; der u.g. numerische Wert entspringt jedoch dieser Reihenbildung).

Aus dem Satz folgt, daß es entweder nur endlich viele oder unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, deren Verteilung gegen ∞ immer „dünner” wird.

Der Wert B der o.g. Reihe, manchmal auch als Brunsche Konstante bezeichnet, ist bis heute nicht bekannt. Hochgenaue numerische Berechnungen unter Verwendung aller Primzahlzwillinge bis zu \(1.5\cdot {10}^{15}\) ergaben Mitte der 90er Jahre den Wert

\begin{eqnarray}B=1.9021605824\ldots .\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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