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Lexikon der Mathematik: Cassinische Kurven

ebene Kurven Sa,b mit der impliziten Kurvengleichung

\begin{eqnarray}f(x,y)={({x}^{2}+{y}^{2}+{a}^{2})}^{2}-{b}^{4}-4{a}^{2}{x}^{2}=0,\end{eqnarray}

in der a und b Konstanten sind. In Polarkoordinaten (ϱ, ϕ) werden sie durch die Gleichung

\begin{eqnarray}{\varrho }^{2}={a}^{2}\quad\cos (2\varphi )\pm \sqrt{{b}^{4}-{a}^{4}\quad{\sin }^{2}(2\varphi )}\end{eqnarray}

beschrieben.

Sa,b ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, für die das Produkt der Abstände von den Punkten F1 = (−a, 0) und \({{\mathscr{F}}}_{2}=(a,0)\) den festen Wert b2 hat.

Die Gleichung f(x, y) = 0 geht für a = 0 in x2 + y2b2 = 0 über. S0,b ist also ein Kreis vom Radius b. Mit wachsendem a wechselt dann das Aussehen der Cassinischen Kurve in die eines zunehmend flacheren ellipsenähnlichen Ovals, das bei Erreichen des kritischen Wertes \(a=b/\sqrt{2}\) seine konvexe Form verliert, zunehmend tiefer eingebeult ist und schließlich für a = b zur Lemniskate wird. Für alle größeren Werte von a zerfällt die Kurve in zwei eiförmige geschlossene Kurven, die zueinander spiegelsymmetrisch links und rechts der y-Achse liegen.

Die Krümmung hat für den kritischen Wert \(a=b/\sqrt{2}\) eine Nullstelle in den Punkten \((0,\pm b/\sqrt{2})\).

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Cassinische Kurven
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Die Cassinischen Kurven Sa,2 (0 ≤ a ≤ 4)

Dort hat die Tangente einen besonders innigen Kontakt mit der Kurve \({S}_{b/\sqrt{2,}b}\).

Die Schnittpunkte von Sa,b mit der x-Achse sind die Lösungen \(x=\pm \sqrt{{a}^{2}\pm {b}^{2}}\) der Gleichung f(x, 0) = 0. Man hat für a > b vier Schnittpunkte, für a = b drei (Lemniskate) und für a < b zwei.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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