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Lexikon der Mathematik: Cayley, Arthur

Mathematiker, geb. 16.8.1821 Richmond, gest. 26.1.1895 Cambridge.

Cayley war der Sohn eines Geschäftsmannes, der enge Verbindungen nach Rußland hatte. Einen großen Teil seiner Kindheit verbrachte er in St. Petersburg. Ab 1839 studierte Cayley in Cambridge. Trotz nachgewiesener außerordentlicher mathematischer Begabung fand sich für ihn nach dem Studium keine geeignete Wirkungsmöglichkeit. Cayley studierte daraufhin Jura und arbeitete anschließend bis 1863 als Rechtsanwalt. In seiner Freizeit beschäftigte er sich weiter mathematisch und veröffentlichte in den 14 Jahren seiner erfolgreichen juristischen Tätigkeit über 300 mathematische Arbeiten.

In dieser Zeit entstand auch die enge Freundschaft Cayleys mit Sylvester, der wie er als Jurist arbeitete und mathematisch erfolgreich forschte. Endlich, 1863, wurde Cayley Professor für reine Mathematik in Cambridge, 1881/82 lehre er auch in Baltimore.

Cayley war der englischen algebraischen Tradition verpflichtet. Er vertrat eindeutig die abstraktformale Behandlung algebraischer Probleme. Im Jahre 1854 gab er die Definition der endlichen abstrakten Gruppe als Komplex von sog. Symbolen, für die die üblichen Gruppengesetze gelten, heraus. Dabei stützte er sich auf die Vorarbeiten französischer und deutscher Mathematiker. Cayley sprach klar aus, daß eine Gruppe mehrere verschiedene Repräsentationen haben kann. Er zeigte dies an Substitutionen, Quaternionen und an Beispielen aus der Theorie der elliptischen Funktionen. Er entwickelte Methoden zum Studium von Gruppen und führte die bekannten Multiplikationstafeln ein. Das Studium von Problemen der linearen Algebra führte Cayley zur Schaffung der Theorie der Matrizen, die er bereits 1858 in überraschender Klarheit darlegte.

Ein drittes algebraisches Gebiet ist in seiner Frühzeit maßgeblich von Cayley geprägt worden, die Invariantentheorie. Im Jahre 1846 führte er den Begriff der Kovarianz ein. Von 1854 bis 1878 erschienen dann seine berühmten zehn „Memoires of Quantics“, die ihn endgültig als den eigentlichen Schöpfer der Invariantentheorie auswiesen. Cayley hatte damit begonnen, ein Programm zu realisieren, das zur vollständigen Erfassung aller Invarianten und Kovarianten einer gegebenen Form führen sollte. Er fand selbst das komplette System von Invarianten kubischer und biquadratischer Formen. Auch Probleme der Geometrie fanden sein Interesse. Er befaßte sich mit algebraischen Kurven und Flächen und äußerte 1841 die Idee von den Möglichkeiten einer n-dimensionalen Geometrie. Im Jahre 1859 führte Cayley die projektive Metrik ein und zeigte, daß die metrische Geometrie der projektiven Geometrie untergeordnet ist. Dabei verwendete er wiederum Methoden der Invariantentheorie.

Trotz der erwähnten, schon weitgespannten Interessen Cayleys fand er noch Zeit, sich mit Liniengeometrie zu befassen, spezielle analytische Funktionen zu untersuchen und die Anwendung graphischer Methoden in den unterschiedlichsten Bereichen der Mathematik und Astronomie (Schattenkurven bei Sonnenfinsternissen) zu untersuchen und zu fördern. Auch Probleme der Mechanik und der Astronomie fanden seine Aufmerksamkeit. Er führte die „Cayleyschen Parameter“ der Mechanik ein, machte ausführliche Rechnungen zur Störungstheorie und untersuchte die Anziehung von Ellipsoiden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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