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Lexikon der Mathematik: charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen

für eine auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, \({\mathfrak{A}}\), P) definierte reelle Zufallsvariable X durch die Fourier-Transformation

\begin{eqnarray}{\phi }_{X}:{\mathbb{R}}\ni t\to E({e}^{itX})=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}{e}^{itx}{P}_{X}(dx)\in {\mathbb{C}}\end{eqnarray}

ihrer Verteilung PX definierte komplexwertige Abbildung.

Die von A.M. Ljapunow und P. Lévy entwickelte Theorie der charakteristischen Funktionen stellt eine der wichtigsten analytischen Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie dar, die z. B. beim Beweis des zentralen Grenzwertsatzes und der Bestimmung der Verteilung der Summe von endlich vielen unabhängigen Zufallsvariablen angewendet wird. Wichtige Resultate sind:

  1. Eindeutigkeitssatz: Für zwei Zufallsvariablen X und Y auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, \({\mathfrak{A}}\), P) gilt φX = φY genau dann, wenn PX = PY gilt.
  2. Stetigkeitssatz: Die Folge (PXn)n∈ℕder Verteilungen einer Folge (Xn)n∈ℕvon Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, \({\mathfrak{A}}\), P) mit charakeristischen Funktionen (φXn)n∈ℕkonvergiert genau dann schwach gegen die Verteilung PX einer Zufallsvariable X mit charakteristischer Funktion φX, wenn die φXn gegen φX konvergieren.
  3. Inversionsformel: Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilung PX. Ist |φX| endlich Lebesgue-integrierbar, so besitzt PX eine Wahrscheinlichkeitsdichte fX bezüglich des Lebesgue-Maßes λ, die durch

    \begin{eqnarray}{f}_{X}:{\mathbb{R}}\ni x\to \frac{1}{2\pi }\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}{e}^{-itx}{\phi }_{X}(t)\lambda (dt)\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\end{eqnarray}

gegeben ist.
  • Multiplikationssatz: Seien X, Y unabhängige Zufallsvariablen mit charakteristischen Funktionen φX und φY. Dann gilt für die charakteristische Funktion der Summe X + Y die Beziehung

    \begin{eqnarray}{\phi }_{X+Y}={\phi }_{X}{\phi }_{Y}.\end{eqnarray}

  • Differenzierbarkeit: Existiert das k-te Moment Mk der Verteilung einer Zufallsvariable X, so ist φX k-mal differenzierbar. Die k-te Ableitung \({\phi }_{X}^{(k)}\)ist gleichmäßig stetig und beschränkt und es gilt

    \begin{eqnarray}{\phi }_{X}^{(k)}(0)={i}^{k}{M}_{k}.\end{eqnarray}

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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