Ungleichungen für Funktionen f, g ∈ L^p(ß).

Ist 1 < p ≤ 2 und 1/p + 1/q = 1, so gilt

\begin{eqnarray}{\left\Vert \displaystyle\frac{f+g}{2}\right\Vert }_{p}^{q}+{\left\Vert \displaystyle\frac{f-g}{2}\right\Vert }_{p}^{q}\le {\left(\displaystyle\frac{||f|{|}_{p}^{p}+||g|{|}_{p}^{p}}{2}\right)}^{q/p};\end{eqnarray}

ist 2 ≤ p < ∞, so gilt

\begin{eqnarray}{\left\Vert \displaystyle\frac{f+g}{2}\right\Vert }_{p}^{p}+{\left\Vert \displaystyle\frac{f-g}{2}\right\Vert }_{p}^{p}\le \displaystyle\frac{||f|{|}_{p}^{p}+||g|{|}_{p}^{p}}{2}.\end{eqnarray}

Analoge Ungleichungen gelten in den Schattenvon Neumann-Klassen.