Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Darboux-Summe

Variante des Riemannschen Zugangs zum Integralbegriff.

Es sei f eine auf dem Intervall [a, b] beschränkte Funktion, und k ∈ ℕ. Man unterteilt das Intervall [a, b] nun in k Teilintervalle [xv, xv+1] mit a = x0 < x1 < … xk = b, und setzt für v = 1, …, k

\begin{eqnarray}{m}_{v}:=\mathop{\inf }\limits_{{x}_{v-1}\le x\le {x}_{v}}f(x)\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}{M}_{v}:=\mathop{\sup }\limits_{{x}_{v-1}\le x\le {x}_{v}}f(x).\end{eqnarray}

Dann heißen die Summen

\begin{eqnarray}s(f):=\displaystyle \sum _{v-1}^{k}{m}_{v}({x}_{v}-{x}_{v-1})\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}s(f):=\displaystyle \sum _{v-1}^{k}{M}_{v}({x}_{v}-{x}_{v-1})\end{eqnarray}

untere bzw. obere Darboux-Summe von f bzgl. der Unterteilung {xv}.

Anschaulich sind die Darboux-Summen Summen von Rechtecksflächen: Die Grundfläche ist jeweils die Intervallbreite (xixi−1), die Höhe ist der kleinste bzw. größte Wert von f im jeweiligen Teilintervall.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Darboux-Summe
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
 Bild vergrößern

Untere und obere Darboux-Summen

Ist {yk} eine andere Unterteilung des Intervalls [a, b], und ist \(\tilde{S}(f)\) die zugehörige obere Darboux-Summe, so gilt

\begin{eqnarray}s(f)\le \tilde{S}(f).\end{eqnarray}

Die Zahlen

\begin{eqnarray}{I}_{u}:=\sup s(f)\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}{I}_{o}:=\inf S(f),\end{eqnarray}

wobei das Infimum bzw. das Supremum über alle möglichen Unterteilungen von [a, b] genommen wird, heißen auch unteres bzw. oberes Darboux-Integral von f.

Es gilt nun folgender Satz:

Die Funktion f ist über [a, b] genau dann (Riemann-) integrierbar, wenn Iuund Ioexistieren und gleich sind.

In diesem Fall stimmen Iu und Io mit dem Wert des Riemann-Integrals überein.

Das Konzept der Darboux-Summe kann auch auf die Integration von Funktionen mehrerer Variablen angewandt werden.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos