Lexikon der Mathematik: Darboux-Summe
Variante des Riemannschen Zugangs zum Integralbegriff.
Es sei f eine auf dem Intervall [a, b] beschränkte Funktion, und k ∈ ℕ. Man unterteilt das Intervall [a, b] nun in k Teilintervalle [xv, xv+1] mit a = x0 < x1 < … xk = b, und setzt für v = 1, …, k
\begin{eqnarray}{m}_{v}:=\mathop{\inf }\limits_{{x}_{v-1}\le x\le {x}_{v}}f(x)\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}{M}_{v}:=\mathop{\sup }\limits_{{x}_{v-1}\le x\le {x}_{v}}f(x).\end{eqnarray}
Dann heißen die Summen\begin{eqnarray}s(f):=\displaystyle \sum _{v-1}^{k}{m}_{v}({x}_{v}-{x}_{v-1})\end{eqnarray}
und\begin{eqnarray}s(f):=\displaystyle \sum _{v-1}^{k}{M}_{v}({x}_{v}-{x}_{v-1})\end{eqnarray}
Anschaulich sind die Darboux-Summen Summen von Rechtecksflächen: Die Grundfläche ist jeweils die Intervallbreite (xi−xi−1), die Höhe ist der kleinste bzw. größte Wert von f im jeweiligen Teilintervall.
Untere und obere Darboux-Summen
Ist {yk} eine andere Unterteilung des Intervalls [a, b], und ist \(\tilde{S}(f)\) die zugehörige obere Darboux-Summe, so gilt
\begin{eqnarray}s(f)\le \tilde{S}(f).\end{eqnarray}
Die Zahlen
\begin{eqnarray}{I}_{u}:=\sup s(f)\end{eqnarray}
und\begin{eqnarray}{I}_{o}:=\inf S(f),\end{eqnarray}
wobei das Infimum bzw. das Supremum über alle möglichen Unterteilungen von [a, b] genommen wird, heißen auch unteres bzw. oberes Darboux-Integral von f.Es gilt nun folgender Satz:
Die Funktion f ist über [a, b] genau dann (Riemann-) integrierbar, wenn Iuund Ioexistieren und gleich sind.
In diesem Fall stimmen Iu und Io mit dem Wert des Riemann-Integrals überein.
Das Konzept der Darboux-Summe kann auch auf die Integration von Funktionen mehrerer Variablen angewandt werden.
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