Die Holonomiegruppe ist das Charakteristikum eines linearen Zusammenhangs. Sie wird allgemeiner auch für Zusammenhänge in Prinzipalbündeln definiert. Wir beschränken uns auf die Erläuterung von Holonomiegruppen linearer Zusammenhänge.

Es sei M eine mit einem linearen Zusammenhang ∇ versehene Mannigfaltigkeit. Sind x, y ∈ M zwei Punkte, so sei Γ_{x, y} die Menge aller auf dem Intervall [0, 1] ⊂ ℝ definierten stückweise glatten Kurven γ(t) in M mit γ(0) = x und γ(1) = γ. Die Abbildung \begin{eqnarray}{\mathscr{H}}:\gamma \in {{\rm{\Gamma }}}_{x,y}\to {{\rm{\Pi }}}_{\gamma }\in {\text{Hom(T}}_{\text{x}}(\text{M}),\space \space \text{T}_{\text{y}}(\text{M})\text{),}\end{eqnarray} die jeder Kurve γ die Parallelübertragung Π_γ längs γ zuordnet, ist die Holonomie von (M, ∇) in den Punkten x und γ.

Genauer: Ist \({\mathfrak{t}}\space \in \space {T}_{x}\text{(}M\text{)}\) ein beliebiger Tangentialvektor, so gibt es genau ein Feld \({\mathfrak{t}}\text{(}t\text{)}\in {T}_{\gamma (t)}(M)\) von längs γ parallel übertragenen Vektoren mit \({\mathfrak{t}}(0)={\mathfrak{t}}\). Π_γ ordnet \({\mathfrak{t}}\) den Vektor \({\mathfrak{t}}\text{(1)}\in {T}_{y}(m)\) zu. Es gilt \begin{eqnarray}{{\rm{\Pi }}}_{\gamma }(r{\mathfrak{t}}+s{\mathfrak{s}})=r{{\rm{\Pi }}}_{\gamma }({\mathfrak{t}})+s\space {{\rm{\Pi }}}_{\gamma }({\mathfrak{s}})\end{eqnarray} für alle r, s ∈ ℝ und \({\mathfrak{t}}\text{,}\space {\mathfrak{s}}\in {T}_{x}\text{(}M\text{)}\), d. h., Π_γ ist linear. Bezeichnet \(\tilde{\gamma }\in {\Gamma }_{y,x}\) die in entgegengesetzter Richtung durchlaufene Kurve γ, d.h. \(\tilde{\gamma }(t)=\gamma (1-t)\), so ist \({\Pi }_{\tilde{\gamma }}\circ{\Pi }_{\gamma }\) die identische Abbildung von T_x(M), d.h., Π_γ ist bijektiv.

Wir bezeichnen mit H_{x, y} ⊂ End(T_x(M), T_y(M)) die Bildmenge \( {\mathcal H} (\gamma \in {\Gamma }_{x,\space y})\). Für x = y ist H_x = H_{x, x} eine Untergruppe der Gruppe Gl(T_x(M)) aller bijektiven linearen Abbildungen des Tangentialraums T_x(M) in sich. Diese Gruppeneigenschaft ist eine direkte Folgerung aus der Verträglichkeit der Parallelübertragung mit dem Zusammensetzen von Kurven.

H_x heißt Holonomiegruppe von (M, ∇) im Punkt x. Wenn M das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt ist, ist H_x eine Liesche Untergruppe von Gl(T_x(M)), d. h., eine abgeschlossene glatte Untermannigfaltigkeit, die gleichzeitig eine Untergruppe ist. Das Einselement von H_x ist die identische Abbildung Id, und der Tangentialraum \({{\mathfrak{h}}}_{x}={T}_{\text{Id}}({H}_{x})\) von H_x im Punkt Id heißt Holonomiealgebra von (M, ∇) im Punkt x. Sie ist ein linearer Unterraum des Raumes End(T_x(M)) der Endomorphismen von T_x(M) und in bezug auf die Kommutatorbildung \((\alpha, \space \beta )\in {{\mathfrak{h}}}_{x}\times {{\mathfrak{h}}}_{x}\to [\alpha, \space \beta ]\space =\space \alpha \space \circ \space \beta \space – \space \beta \space \circ\space \alpha \) abgeschlossen. Somit ist \({{\mathfrak{h}}}_{x}\) eine Liesche Unteralgebra von End(T_x(M)).

Der Krümmungstensor eines beliebigen linearen Zusamenhangs ∇ ist analog zum Riemannschen Krümmungstensor als Abbildung definiert, die jedem Paar von Tangentialvektoren X, Y ∈ T_x(M) den Endomorphismus R(X, Y) : U ∈ T_x(M) → ∇_X(∇_YU) − ∇_Y(∇_XU) − ∇_{[X, Y]}U ∈ T_x(M) zuordnet. Das Holonomietheorem von Ambrose und Singer besagt, daß die Holonomiealgebra durch R bestimmt ist:

Die Holonomiealgebra \({{\mathfrak{h}}}_{x}\)von (M, ∇) im Punkt x ∈ M wird als Liesche Unteralgebra von der Teilmenge {R(X, Y) ∈ End(T_x(M)); X, Y ∈ T_x(M)} erzeugt.

Lassen sich zwei Punkte x, y ∈ M durch eine stückweise glatte Kurve γ(t) (t ∈ [0, 1], γ(0) = x, γ(1) = y) verbinden, so ist durch α ∈ H_y → (Π_γ)⁻¹ ○ α ○ Π_∈ ∈ H_x eine Isomorphie zwischen H_x und H_y gegeben. Daher sind alle Holonomiegruppen einer bogenweise zusammenhängenden Mannigfaltigkeit untereinander isomorph.

Die eingeschränkte Holonomiegruppe \({H}_{x}^{0}\) ist als Menge aller Parallelübertragungen Π_γ längs null-homotoper geschlossener Kurven γ ∈ Γ_{x, x} definiert, d. h. längs geschlossener Kurven, die sich stetig innerhalb von M auf den Anfangspunkt x zusammenziehen lassen. \({H}_{x}^{0}\) ist eine Untergruppe von H_x und stimmt mit der topologischen Zusammenhangskomponente des Einselementes Id ∈ H_x überein.

Ist M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Riemannschen Metrik g und ∇ der Levi-Civita-Zusammenhang von g, so ist die Länge von Vektoren bei der Parallelübertragung invariant. Somit ist H_x eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe O(T_x(M), g_x) von T_x(M).

Da H_x in diesem Fall kompakt ist, ist T_x(M) als Darstellungsraum von H_x vollständig reduzibel, d. h., es existiert eine Zerlegung \({T}_{x}(M)=\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k}{T}_{x}^{(i)}\) in invariante Unterräume, die de Rham-Zerlegung von T_x(M). Da ferner die Darstellungsräume T_x(M) der Gruppen H_x für alle Punkte x ∈ M untereinander isomorph sind, sind auch die de Rham-Zerlegungen untereinander isomorph. Genauer: Die Parallelübertragung längs einer stückweise glatten, zwei Punkte x und γ verbindenden Kurve γ(t) überführt die Komponenten \({T}_{x}^{(i)}\) der de Rham-Zerlegung von T_x(M) in die entsprechenden Komponenten der de Rham-Zerlegung von T_y(M).

Die de Rham-Zerlegung der Tangentialräume überträgt sich unter bestimmten Voraussetzungen auf die Mannigfaltigkeit M. Es gilt der Zerlegungssatz von de Rham:

Es sei M eine einfach zusammenhängende und vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit und \({{\rm{\Delta }}}^{(i)}:y\in M\to {T}_{y}^{(i)}\space (i=1,\ldots ,k)\)die Abbildung, die jedem Punkt den Unterraum \({T}_{y}^{(i)}\)der de Rham-Zerlegung von T_y(M) zuordnet. Dann ist Δ⁽ⁱ⁾ ein vollständig integrables Pfaffsches System. Durch jeden Punkt von M geht eine maximale Integralmannigfaltigkeit, d. h., eine zusammenhängende Untermannigfaltigkeit N ⊂ M, deren Tangentialräume in allen Punkten y ∈ N mit Δ⁽ⁱ⁾ (y) übereinstimmen, und die in keiner sie echt umfassenden Integralmannigfaltigkeit enthalten ist.

Bezeichnet man mit N⁽ⁱ⁾ die maximale Integralmannigfaltigkeit von Δ⁽ⁱ⁾ durch einen fest gewählten Punkt x ∈ M, so ist die gesamte Mannigfaltigkeit M zu dem direkten Produkt der N⁽ⁱ⁾ isomorph: \begin{eqnarray}M={N}^{(1)}\times {N}^{(2)}\times \cdots \times {N}^{(k)}.\end{eqnarray}

Diese Aussage schließt mit ein, daß auch g das direkte Produkt der Riemannschen Metriken der N⁽ⁱ⁾ ist.

Tritt in dieser Zerlegung nur ein Faktor auf, so heißt M irreduzibel. Die Holonomiegruppen von irreduzibeln Riemannschen Mannigfaltigkeiten der Dimension n, die keine symmetrischen Räume sind, gehören nach einem Satz von M. Berger einer der folgenden acht Klassen an:

Dabei ist n in den Fällen U(n/2) und SU(n/2) eine gerade Zahl, und eine durch 4 teilbare Zahl im Fall der Gruppen Sp(n/4) Sp(1) und Sp(n/4). G₂ ist als Untergruppe von GL(7, ℝ) erklärt, die die alternierende 3-Form \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\varphi & = & d{x}^{5}\wedge d{x}^{6}\wedge d{x}^{7}+\\ & & (d{x}^{1}\wedge d{x}^{2}-d{x}^{3}\wedge d{x}^{4})\wedge d{x}^{5}+\\ & & (d{x}^{1}\wedge d{x}^{3}-d{x}^{4}\wedge d{x}^{2})\wedge d{x}^{6}+\\ & & (d{x}^{1}\wedge d{x}^{4}-d{x}^{2}\wedge d{x}^{3})\wedge d{x}^{7}\end{array}\end{eqnarray} invariant läßt. Spin(7) und Spin(9) sind als zweiblättrige Überlagerungsgruppen von SO(7) bzw. SO(9) definiert. Um sie als Holonomiegruppen verstehen zu können, müssen sie jedoch als Untergruppen einer linearen Gruppe GL(n, ℝ) angesehen werden. Man kann Untergruppen von GL(8, ℝ) und GL(16, ℝ) angeben, die zu Spin(7) bzw. zu Spin(9) isomorph sind.

Literatur

[1] Kobayashi., S; Nomizu., K.: Foundations of Differential geometry I. Interscience Publishers, New-York & London 1963.

[2] Salamon, S.: Riemannian geometry and holonomy groups. Longman Scientific & Technical, Großbritannien, 1989.