eindeutig bestimmter torsionsfreier Zusammenhang ∇ auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M derart, daß die durch ∇ gegebene Parallelübertragung die Riemannsche Metrik g von M erhält.

Die Metrik g wird bezüglich ∇ parallel übertragen, wenn die Gleichung

\begin{eqnarray}Zg(X,Y)=g({\nabla }_{Z}X,Y)+g(X,{\nabla }_{Z}Y)\end{eqnarray}

für alle differenzierbaren Vektorfelder X, Y, Z auf M gilt (Lemma von Ricci). Daraus und aus der Torsionsfreiheit leitet man die Gleichung

\begin{eqnarray}\begin{array}\ll2g(X,{\nabla }_{Z}Y)=\\ Zg(X,Y)+Yg(X,Z)-Xg(Y,Z)\\ +g(Z,[X,Y])+g(Y,[X,Z])-g(X,[Y,Z])\end{array}\end{eqnarray}

her, mit deren Hilfe sich ∇_ZY durch die Ableitungen von g ausdrücken läßt. Dabei bedeutet Zg(X, Y) die Anwendung des Vektorfeldes Z als Richtungsableitung auf die Funktion g(X, Y), und [X, Y] ist der Kommutator der Vektorfelder X und Y. Wählt man in der obigen Gleichung für X, Y, Z Tangentialvektorfelder an die Koordinatenlinien eines lokalen Koordinatensystems (x₁, …, x_n) von M, so sind die Kommutatoren gleich Null, und man erhält die folgende Darstellung der Christoffelsymbole durch die Metrik g, in der g_ij die Matrix von g bezüglich dieser Koordinaten und g^kl ihre inverse Matrix ist: \begin{eqnarray}{\Gamma }_{ij}^{k}=\frac{1}{2}\displaystyle \sum _{l=1}^{n}{g}^{kl}\left(\frac{\partial {g}_{ij}}{\partial {x}_{l}}+\frac{\partial {g}_{jl}}{\partial {x}_{l}}-\frac{\partial {g}_{li}}{\partial {x}_{j}}\right).\end{eqnarray}