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Lexikon der Mathematik: Levi-Civita-Zusammenhang

eindeutig bestimmter torsionsfreier Zusammenhang ∇ auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M derart, daß die durch ∇ gegebene Parallelübertragung die Riemannsche Metrik g von M erhält.

Die Metrik g wird bezüglich ∇ parallel übertragen, wenn die Gleichung

\begin{eqnarray}Zg(X,Y)=g({\nabla }_{Z}X,Y)+g(X,{\nabla }_{Z}Y)\end{eqnarray}

für alle differenzierbaren Vektorfelder X, Y, Z auf M gilt (Lemma von Ricci). Daraus und aus der Torsionsfreiheit leitet man die Gleichung

\begin{eqnarray}\begin{array}\ll2g(X,{\nabla }_{Z}Y)=\\ Zg(X,Y)+Yg(X,Z)-Xg(Y,Z)\\ +g(Z,[X,Y])+g(Y,[X,Z])-g(X,[Y,Z])\end{array}\end{eqnarray}

her, mit deren Hilfe sich ∇ZY durch die Ableitungen von g ausdrücken läßt. Dabei bedeutet Zg(X, Y) die Anwendung des Vektorfeldes Z als Richtungsableitung auf die Funktion g(X, Y), und [X, Y] ist der Kommutator der Vektorfelder X und Y. Wählt man in der obigen Gleichung für X, Y, Z Tangentialvektorfelder an die Koordinatenlinien eines lokalen Koordinatensystems (x1, …, xn) von M, so sind die Kommutatoren gleich Null, und man erhält die folgende Darstellung der Christoffelsymbole durch die Metrik g, in der gij die Matrix von g bezüglich dieser Koordinaten und gkl ihre inverse Matrix ist: \begin{eqnarray}{\Gamma }_{ij}^{k}=\frac{1}{2}\displaystyle \sum _{l=1}^{n}{g}^{kl}\left(\frac{\partial {g}_{ij}}{\partial {x}_{l}}+\frac{\partial {g}_{jl}}{\partial {x}_{l}}-\frac{\partial {g}_{li}}{\partial {x}_{j}}\right).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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