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Lexikon der Mathematik: Diffusionsgleichungen

spezieller Typ einer parabolischen Differentialgleichung von der allgemeinen Form

\begin{eqnarray}{u}_{t}-{a}^{2}\Delta u+bu=f\end{eqnarray}

mit der unbekannten Funktion u(t, x), welche von der Zeit t und dem Ort x abhängt. a und b sind konstant, f eine Funktion von t und x, Δ der Laplace-Operator bzgl. x.

Der Name rührt von der physikalischen Interpretation der Gleichung her als der Beschreibung eines Diffusionsproblems.

u(t, x) ist danach die Teilchendichte zur Zeit t am Ort x. Die Parameter a2 = D/ϱ und b = q/ϱ setzen sich zusammen aus dem Diffusionskoeffizienten D, dem Porösitätskoeffizienten ϱ und dem Absorptionskoeffizienten q. f ist die Intensität der inneren Stoffquellen.

Es gibt auch Varianten der Diffusionsgleichung mit nichtkonstantem Diffusionskoeffizienten, z. B. D = D(u).

Manchmal bezeichnet man auch den Speziallfall

\begin{eqnarray}{u}_{t}-\Delta u=0\end{eqnarray}

als „die“ Diffusionsgleichung, jedoch ist hierfür inzwischen der Begriff der Wärmeleitungsgleichung geläufiger.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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