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Lexikon der Mathematik: Dirichlet, Johann Peter Gustav Lejeune

deutscher Mathematiker, geb. 13.2.1805 Düren b. Aachen, gest. 5.5.1859 Göttingen.

Dirichlet, Sohn des Postkommissars von Düren, dessen Vorfahren aus Richelet bei Verviers (Belgien) stammten, besuchte nach einer Privatschule 1817 ein Gymnasium in Bonn und 1819 ein Jesuitenkolleg in Köln, wo er bereits mit 16 Jahren das Abitur ablegte. Danach beschloß er, Mathematik zu studieren und ging von 1822 bis 1826 nach Paris. Sehr bald fand er Kontakt zu führenden französischen Mathematikern, insbesondere zu Fourier, Poisson und Lacroix. Seinen Lebensunterhalt verdiente er sich als Privatlehrer. Wesentlich unterstützt von A.v.Humboldt habilitierte sich Dirichlet 1827 an der Universität Breslau (Wroclaw), nachdem er zuvor den Dr.h.c. von der Universität Bonn erhalten hatte. Nach kurzer Tätigkeit als außerordentlicher Professor ging er 1829 nach Berlin, wo er nach kurzer Privatdozentur 1831 außerordentlicher und 1839 ordentlicher Professor an der Universität wurde. 1855 trat er dann die Nachfolge von Gauß in Göttingen an.

Dirichlet heiratete 1832 Rebecca Mendelsohn- Bartholdy, eine Enkelin des Philosphen M. Mendelsohn. Durch diese Ehe war er mit vielen Persönlichkeiten des geistig-kulturellen Lebens verwandtschaftlich verbunden, z. B. war der Komponist F. Mendelsohn-Bartholdy sein Schwager und der Philosoph L. Nelson sein Urenkel.

Dirichlet leistete grundlegende Beiträge zur Mathematik und mathematischen Physik und hat einen enormen Einfluß auf die Mathematikentwicklung in Deutschland ausgeübt. Zusammen mit Jacobi leitete er eine neue Etappe in der mathematischen Lehre in Deutschland ein und begründete den Aufstieg Berlins zu einem Zentrum der mathematischen Forschung. Zu seinen Schülern gehörten so bedeutende Mathematiker wie Kummer, Eisenstein, Kronecker, Riemann und Dedekind.

Dirichlet war ein ausgezeichneter Lehrer, der in seinen Vorlesungen den Studenten den Zugang zu den damals aktuellen Forschungen erschloß, insbesondere zu dem zahlentheoretischen Werk von Gauß sowie den Arbeiten der französischen mathematischen Physiker, und auch über schwierigste Fragen vorzutragen verstand.

Zu den ersten von Dirichlet publizierten mathematischen Ergebnissen gehörte 1825 eine Methode, die wesentliche Teilaussagen für die Bestätigung der Fermatschen Vermutung für n = 5 enthielt und die wenige Wochen später von Legendre zu einem vollständigen Beweis dieser Vermutung für n = 5 ausgebaut wurde. In vielen weiteren Arbeiten hat Dirichlet dann an Gauß und dessen „Disquisitiones arithmetica“ angeknüpft, die dort gegebenen Beweise verbessert und Ideen weiterentwickelt. Grundsätzlich neu war die Heranziehung analytischer Hilfsmittel für zahlentheoretische Untersuchungen. In der Theorie der algebraischen Zahlen gelang ihm dadurch der Beweis des nach ihm benannten Primzahlsatzes.

Mit Hilfe der von ihm eingeführten Dirichlet- Reihen konnte er Formeln für die Klassenzahlen binärer quadratischer Formen ableiten. Außerdem gab er mit seinen Ergebnissen den Studien über Einheiten in algebraischen Zahlkörpern endlichen Grades eine abschließende Form. Die von Dedekind 1863 herausgegebenen Dirichletschen „Vorlesungen über Zahlentheorie“ faßten viele der Ergebnisse zusammen und boten zugleich zahlreiche Anregungen zu weitergehenden Studien, u. a. von Dedekind selbst. Dirichlet griff zahlreiche Fragen der Analysis und ihrer Anwendungen auf. Mit dem ersten strengen Beweis für die Konvergenz der Fourier-Reihe einer periodischen, stückweise stetigen und stückweise monotonen Funktion gegen diese Funktion beantwortete er 1829 eine seit Euler und Bernoulli diskutierte Frage nach der Entwickelbarkeit periodischer Funktionen in trigonometrische Reihen. In den folgenden Jahren vertiefte er diese Ergebnisse, berechnete konkrete Anwendungsbeispiele und nahm zugleich eine schärfere Fassung einiger Grundbegriffe der Analysis vor. Eng damit verbunden waren seine Betrachtungen zur Entwicklung von Funktionen nach Kugelfunktionen (1837). Anknüpfend an Laplace studierte er ganz allgemein die Anziehung und Abstoßung von Massepunkten unter der Wirkung von Zentralkräften, formulierte das nach ihm benannte Randwertproblem zur Berechnung der Potentialfunktion und löste es für bestimmte Randwerte (1850). In weiteren Arbeiten behandelte Dirichlet insbesondere Probleme der Hydrodynamik. Dabei verwendete er u. a. das Dirichlet-Prinzip, das die Lösung einer Randwertaufgabe auf ein Variationsproblem zurückführt, nämlich die Minimierung eines Integrals.

Diese Methode erwies sich im Umgang mit den in vielen Gebieten der Mathematik und Physik auftretenden Randwertaufgaben als sehr nützlich, doch konnte ihre Anwendung erst 1899 gesichert werden, als Hilbert die zunächst als plausibel erscheinende Existenz einer Minimallösung für das Integral allgemein nachwies.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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