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Lexikon der Mathematik: Divisor auf einer komplexen Mannigfaltigkeit

fundamentaler Begriff in der algebraischen Geometrie. Sei M eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension n, nicht notwendig kompakt. Ein Divisor auf M ist eine lokal endliche formale Linear-kombination

\begin{eqnarray}D=\displaystyle \sum {a}_{i}{V}_{i}\end{eqnarray}

von irreduziblen analytischen Hyperflächen von M. Lokal endlich bedeutet, daß es für jedes pM eine Umgebung von p gibt, die nur eine endliche Anzahl der in D auftauchenden Vi’s trifft. Ist M kompakt, dann bedeutet das einfach, daß die Summe endlich ist. Die Menge der Divisoren auf M bildet eine additive Gruppe, die meist mit Div(M) bezeichnet wird (Divisorengruppe).

Sei VM eine irreduzible analytische Hyperfläche, pV, und f eine lokal definierende Funktion für V in einer Umgebung von p. Für eine in einer Umgebung von p holomorphe Funktion ist die Ordnung ordV,p (g) von g längs V an der Stelle p die größte ganze Zahl a, so daß im lokalen Ring \({\mathcal{O}}_{M,p}g\,=\,{f}^{a}\cdot \,h\) gilt. Für eine holomorphe Funktion auf M ist die Ordnung unabhängig von p. Daher kann man die Ordnung ordV (g) von g längs V einfach als die Ordnung von g längs V in einem beliebigen Punkt pV definieren. Sind g, h holomorphe Funktionen auf M und V eine irreduzible Hyperfläche, dann gilt ordV (gh) = ordV (g) + ordV (h).

Sei nun f eine meromorphe Funktion auf M, die lokal als f = g/h geschrieben werde mit teilerfremden holomorphen Funktionen g, h. Dann definiert man für eine irreduzible Hyperfläche V ordV (f) = ordV (g) − ordV (h). Wenn ordV (f) = a > 0 ist, dann sagt man, daß f eine Nullstelle der Ordnung a längs V besitzt. Ist ordV (f) = −a < 0, dann sagt man, daß f eine Polstelle der Ordnung a längs V besitzt. Der Divisor (f) der meromorphen Funktion f ist definiert durch

\begin{eqnarray}(f):=\displaystyle \sum _{V}{\text{ord}}_{V}\,(f)\cdot V.\end{eqnarray}

Der Divisor (f)0 der Nullstellen von f ist definiert durch

\begin{eqnarray}{(f)}_{0}:=\displaystyle \sum _{V}{\text{ord}}_{V}\,(g)\cdot V,\end{eqnarray}

und der Divisor (f) der Polstellen von f durch

\begin{eqnarray}{(f)}_{\infty }:=\displaystyle \sum _{V}{\text{ord}}_{V}\,(h)\cdot V.\end{eqnarray}

Da g und h teilerfremd sind, sind diese Divisoren wohldefiniert. Es gilt (f) = (f)0 − (f).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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