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Lexikon der Mathematik: Divisorengruppe

additive Gruppe aller Divisoren in einer offenen Menge D ⊂ ℂ. Ein Divisor in D ist hierbei eine Abbildung \({\mathfrak{d}}:\,D\,\to \,{\mathbb{Z}}\) derart, daß deren Träger supp \({\mathfrak{d}}=\,\{z\,\in \,D\,:\,{\mathfrak{d}}(z)\,\ne \,0\}\,\) diskret und abgeschlossen in D ist, d. h. keinen Häufungspunkt in D besitzt. Die Menge Div (D) aller Divisoren in D ist mit der punktweisen Addition von Abbildungen als Verknüpfung eine abelsche Gruppe.

Es sei f eine in D meromorphe Funktion mit diskreter Nullstellenmenge N(f) und Polstellenmenge P(f).

Für aN(f) sei n(f, a) ∈ ℕ die Nullstellenordnung von a und für bP(f) sei m(f, b) ∈ ℕ die Polstellenordnung von b.

Dann wird durch \({\mathfrak{d}}\,(z):=\,n(f,\,z)\) für zN(f), \({\mathfrak{d}}\,(z):=\,-m(f,\,z)\) für zP(f) und \({\mathfrak{d}}\,(z):=0\) für zD \ (N(f) ∪ P(f)) ein Divisor \((f)\,=\,{\mathfrak{d}}\) in D definiert, und der Träger von (f) ist die Menge N(f)∪P(f). Ein solcher Divisor heißt Hauptdivisor. Man vergleiche hierzu auch das Stichwort Divisor auf einer komplexen Mannigfaltigkeit.

Ein positiver Divisor ist ein Divisor \({\mathfrak{d}}\) mit \({\mathfrak{d}}(z)\ge \,0\) für alle zD. Jede in D holomorphe Funktion mit diskreter Nullstellenmenge definiert, wie oben erläutert, einen positiven Divisor. Daher nennt man positive Divisoren auch Nullstellenverteilungen. Jeder Divisor kann als Differenz zweier positiver Divisoren dargestellt werden.

Aus dem Weierstraßschen Produktsatz folgt, daß jeder Divisor in D ein Hauptdivisor ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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