Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Weierstraß, Produktsatz von

liefert eine Methode zur Konstruktion ganzer Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen. Der Satz lautet:

Es sei (zn) eine Folge komplexer Zahlen mit \begin{eqnarray}|{z}_{1}|\lt |{z}_{2}|\lt |{z}_{3}|\lt \mathrm{...}|{z}_{n}|\to \infty\,(n\to \infty ),\end{eqnarray}und (mn) eine Folge natürlicher Zahlen.

Dann existiert eine ganze Funktion f derart, daß jedes zneine Nullstelle von f der Nullstellenordnung o( f, zn) = mn ist, und f keine weiteren Nullstellen besitzt.

Die Konstruktion von f erfolgt mit Hilfe von Weierstraß-Produkten. Ist z1 ≠ 0 und (pn) eine Folge in \({{\mathbb{N}}}_{0}\) derart, daß die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{m}_{n}{\left|\frac{r}{{z}_{n}}\right|}^{{p}_{n}+1}\end{eqnarray} für jedes r > 0 konvergiert, so hat die Funktion \begin{eqnarray}f(z):=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left({E}_{pn}\left(\frac{z}{{z}_{n}}\right)\right)}^{mn}\end{eqnarray} die gewünschten Eigenschaften. Falls z1 = 0, so setzt man \begin{eqnarray}f(z):= z^{m1}\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }{\left({E}_{pn}\left(\frac{z}{{z}_{n}}\right)\right)}^{mn}\end{eqnarray}

Die Funktion f ist offenbar nicht eindeutig bestimmt, denn ist g eine beliebige ganze Funktion, so hat die durch \begin{eqnarray}\tilde{f}(z)\ :=f(z){e}^{g(z)}\end{eqnarray} definierte Funktion \(\tilde{f}\) dieselben Nullstellen mit denselben Nullstellenordnungen wie f. Der Faktorisie- rungssatz von Weierstraß besagt, daß hierdurch jedoch alle ganzen Funktionen mit genau diesen Nullstellen geliefert werden.

Es gibt noch eine allgemeinere Version dieses Satzes für beliebige Gebiete:

Es seien G ∈ \({\mathbb{C}}\)ein Gebiet, (zn) eine Folge paarweise verschiedener Punkte in G, die in G keinen Häufungspunkt besitzt, und (mn) eine Folge natürlicher Zahlen.

Dann existiert eine in G holomorphe Funktion f derart, daß jedes zneine Nullstelle von f der Nullstellenordnung o(f, zn) = mnist, und f keine weiteren Nullstellen besitzt.

Für G ≠ \({\mathbb{C}}\) erfolgt die Konstruktion von f mit Hilfe modifizierter Weierstraß-Produkte. Dazu wird aus (zn) eine Folge (ζn) gebildet derart, daß jeder Punkt zn genau m-mal in (ζn) vorkommt. Weiter sei (oin) eine Folge in \({\mathbb{C}}\) \ G derart, daß \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }|{\zeta }_{n}-{\omega }_{n}|=0.\end{eqnarray} Eine solche Folge existiert, da (ζn) keinen Häufungspunkt in G besitzt.

Dann hat die Funktion \begin{eqnarray}f(z):=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{E}_{n}\left(\frac{\varsigma n-{\omega }_{n}}{z-{\omega }_{n}}\right)\end{eqnarray} die gewünschten Eigenschaften.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos