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Lexikon der Mathematik: holomorphe Funktion

eine in einer offenen Menge D ⊂ ℂ definierte Funktion f: D → ℂ, die in jedem Punkt von D komplex differenzierbar ist.

Man nennt f holomorph am Punkt z0D, falls f in einer offenen Umgebung UD von z0 holomorph ist. Ist E eine beliebige Teilmenge von D, so heißt f holomorph auf E, falls es eine offene Menge VD mit EV gibt derart, daß f in V holomorph ist. Falls \(D\subset \hat{{\mathbb{C}}}\) und ∞ ∈ D, so heißt f holomorph an ∞, falls es eine in einer offenen Umgebung W von 0 holomorphe Funktion g gibt mit g(z) = f (1/z) für zW. Die Menge aller in D holomorphen Funktionen bezeichnet man mit \({\mathscr{O}}(D)\) oder H(D). Man vergleiche hierzu auch das Stichwort Algebra der holomorphen Funktionen. Für den mehrdimensionalen Fall vergleiche man holomorphe Abbildung in ℂn.

Es gibt Funktionen f, die in einzelnen Punkten komplex differenzierbar, aber nirgends holomorph sind. Zum Beispiel ist die Funktion f (z) = |z|2 an z0 = 0 komplex differenzierbar mit f′(0) = 0. Sie ist aber an keinem Punkt z0 ≠ 0 komplex differenzierbar und somit nirgends holomorph.

Der folgende Satz liefert mit Hilfe der Cauchy- Riemann-Gleichungen ein wichtiges Holomorphie- kriterium.

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und f = u + iv: D → ℂ eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. Es ist f holomorph in D.
  2. Die Funktionen u, v sind in D reell differenzierbar, und für die partiellen Ableitungen gelten in D die Differentialgleichungen (Cauchy-Riemann-Gleichungen) \begin{eqnarray}{u}_{x}={v}_{y},\space \space {u}_{y}=-{v}_{x}.\end{eqnarray}

Die Differenzierbarkeitsvoraussetzung in (b) läßt sich noch wesentlich abschwächen. Siehe dazu den Satz von Looman-Menchoff.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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