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Lexikon der Mathematik: Dreikörperproblem

in abstrakter Formulierung ein Hamiltonsches System auf einer geeigneten offenen Teilmenge des ℝ18, dessen Hamilton-Funktion von der folgenden Form ist (mit positiven reellen Zahlen m1, m2, m3, k und \(\overrightarrow{{q}_{i}},\,\overrightarrow{{p}_{j}}\,\in \,{{\mathbb{R}}}^{3}\)):

\begin{eqnarray}H({\overrightarrow{q}}_{1},{\overrightarrow{p}}_{1},{\overrightarrow{q}}_{2},{\overrightarrow{p}}_{2},{\overrightarrow{q}}_{3},{\overrightarrow{p}}_{3})=\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\frac{1}{2{m}_{i}}{\overrightarrow{p}}_{i}^{2}\\ \,\,-\frac{k{m}_{1}{m}_{2}}{|{\overrightarrow{q}}_{1}-{\overrightarrow{q}}_{2}|}-\frac{k{m}_{1}{m}_{3}}{|{\overrightarrow{q}}_{1}-{\overrightarrow{q}}_{3}|}-\frac{k{m}_{2}{m}_{3}}{|{\overrightarrow{q}}_{2}-{\overrightarrow{q}}_{3}|}.\end{eqnarray}

Das System beschreibt in der Mechanik die Bewegung von drei massiven Punktteilchen unter dem Einfluß ihrer Newtonschen Gravitation. Anwendung fand es historisch vor allem in der Himmelsmechanik, man denke beispielsweise an die Bewegung der Sonne und zweier Planeten.

Der letztliche gescheiterte Versuch nachzuweisen, daß das Dreikörperproblem ein integrables Hamiltonsches System ist, hat in den letzten drei Jahrhunderten viele Mathematiker wie Lagrange, Hamilton, Jacobi und Poincaré zu wichtigen Begriffsbildungen in der Hamiltonschen Mechanik geführt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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