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Lexikon der Mathematik: Dynkin-Formel

die beim Studium von zeitlich homogenen, starken Markow-Prozessen (Xt)t≥0 nützliche Gleichung im folgenden Satz.

Es sei (Xt)t≥0 ein zeitlich homogener, starker Markow-Prozeß auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, \,{\mathfrak{A}},\,P)\), σ eine Stopzeit im weiteren Sinne mit Ex(σ) < ∞ und u eine Abbildung im Bild \(\Re \)der Greenschen Operatoren {Gα : α > 0}. Dann gilt

\begin{eqnarray}{E}_{x}\left(\displaystyle \underset{0}{\overset{\sigma }{\int }}({\mathfrak{g}}u)({X}_{t})\right)={E}_{x}(u({X}_{\sigma }))-u(x),\end{eqnarray}

wobei \({\mathfrak{g}}\)den infinitesimalen Operator der Halbgruppe der Übergangswahrscheinlichkeiten {P(t, x, B)} mit

\begin{eqnarray}P(t,x,B):=P({X}_{t}\in B|{X}_{0}=x)\end{eqnarray}

des Prozesses bezeichnet.

Für jede Funktion f aus dem mit der Supremumsnorm versehenen Banach-Raum der Borelmeßbaren und beschränkten Funktionen, bezeichnet mit \({\mathfrak{L}}({\mathbb{R}})\), werden die in der Dynkin-Formel auftretenden Erwartunswerte gemäß der Formel

\begin{eqnarray}{E}_{x}(f({X}_{t}))=\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(y)P(t,x,dy)\end{eqnarray}

berechnet. Die Greenschen Operatoren werden in zwei Schritten definiert. Zunächst wird für jedes t ≥ 0 ein linearer Operator Pt auf \({\mathfrak{L}}({\mathbb{R}})\) definiert, indem man für \(f\,\in {\mathfrak{L}}({\mathbb{R}})\) den Wert (Ptf) punktweise durch

\begin{eqnarray}({P}_{t}f)(x):=\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(y)P(t,x,dy)\end{eqnarray}

festlegt. Die durch v(x, t) ≔ (Ptf)(x) definierte Abbildung ist dann für jedes \(f\,\in {\mathfrak{L}}({\mathbb{R}})\) meßbar in t, sodaß man den Greenschen Operator der Ordnung α > 0 als linearen Operator auf \({\mathfrak{L}}({\mathbb{R}})\) durch

\begin{eqnarray}({G}_{\alpha }f)(x):=\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-\alpha t}({P}_{t}f)(x)dt\end{eqnarray}

definieren kann. Das Bild \({G}_{\alpha }[{\mathfrak{L}}({\mathbb{R}})]\) hängt nicht von α ab und wird mit \(\Re \) bezeichnet. Ebenso hängt die Menge \(\{f\,\in \,[{\mathfrak{L}}({\mathbb{R}})]\,:\,{G}_{\alpha }f\,=\,0\}\) nicht von α ab und wird mit \({\mathfrak{N}}\) bezeichnet. Für \(u\,\in \,\Re \) ist die Abbildung \({\mathfrak{g}}\) mit

\begin{eqnarray}{\mathfrak{g}}u:=\alpha u-{G}_{\alpha }^{-1}u\end{eqnarray}

dann modulo \({\mathfrak{N}}\) eindeutig bestimmt und von α unabhängig.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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