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Lexikon der Mathematik: Eisensteinsches Irreduzibilitätskriterium

eine hinreichende Bedingung an die Koeffizienten eines Polynoms, um die Irreduzibilität des Polynoms zu garantieren:

Gegeben sei ein Polynom \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(x)={a}_{n}{x}^{n}+\ldots +{a}_{1}x+{a}_{0} \end{array}\end{eqnarray}mit ganzzahligen Koeffizienten.

Gibt es eine Primzahl p mit \begin{eqnarray}p|{a}_{k}\space f\ddot{u}r\space 0\le k\lt n,\space p\rlap{/}{|}{a}_{n}\space und{p}^{2}\rlap{/}{|}{a}_{0},\end{eqnarray}so ist f(x) irreduzibel in ℚ[x].

Erfüllt ein Polynom f(x) mit ganzzahligen Koeffizienten die Bedingungen in diesem Satz für die Primzahl p, so nennt man f(x) ein Eisenstein-Polynom bzgl. der Primzahl p.

Ein typisches Anwendungsbeispiel ist die Irreduzibilität des Kreisteilungspolynoms zu einer Primzahl p: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{{\rm{\Phi }}}_{p}(x)=\frac{{x}^{p}-1}{x-1}=\displaystyle \sum _{k=0}^{p-1}{x}^{k}. \end{array}\end{eqnarray}

In diesem Fall ist das Polynom \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(x)={{\rm{\Phi }}}_{p}(x+1)=\displaystyle \sum _{k=0}^{p-1}\left(\begin{array}{c}p\\ k+1\end{array}\right){x}^{k} \end{array}\end{eqnarray} ein Eisenstein-Polynom bzgl. p, also irreduzibel. Damit ist auch Φp(x) irreduzibel.

Das Eisensteinsche Irreduzibilitätskriterium läßt sich dahingehend verallgemeinern, daß man anstelle von ℤ einen faktoriellen Ring R nimmt und anstelle von ℚ den Quotientenkörper von R.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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