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Lexikon der Mathematik: Energie-Methode

häufig verwendete Beweistechnik für die Frage der Eindeutigkeit der Lösung gewöhnlicher oder partieller Differentialgleichungen. Sie ist anwendbar bei allen zeitabhängigen Problemen, bei denen in der physikalischen Interpretation Energie erhalten bleibt.

Die übliche Vorgehensweise beruht auf der Idee, für zwei potentielle Lösungen v und w die Funktion uvw zu betrachten und mit dieser eine Energiefunktion E(u, t) zu finden mit Et(u, t) = 0. Diese Beziehung wird dann genutzt, um u = 0 abzuleiten, und damit die Eindeutigkeit zu zeigen.

Als illustratives Beispiel betrachte man das Anfangsrandwertproblem \begin{array}{l}{u}_{tt}-{u}_{xx}=f(x,t),\,\,\,\,0\lt x\lt 1,\,\,\,t\gt 0\\ u(0,t)={\phi }_{0}(t),\,\,\,\,u(1,t)={\phi }_{1}(t),\\ u(x,0)={u}_{0}(x),\,\,\,\,{u}_{t}(x,1)={u}_{1}(x),\end{array} mit vorgegebenen Funktionen φ0, φ1, u0 und u1.

Gefunden seien zwei Lösungen v und w. Für die Differenzfunktion uvw ist dann \begin{eqnarray}{u}_{tt}-{u}_{xx}=0\end{eqnarray} sowie \begin{eqnarray}u(0,t)=u(1,t)=0\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}u(x,0)={u}_{t}(x,1)=0.\end{eqnarray}

Als Energie definiert man nun \begin{eqnarray}E(u,t)=\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{2}({u}_{t}{(x,t)}^{2}+{u}_{x}{(x,t)}^{2})\,dx.\end{eqnarray}

Durch partielle Integration zeigt man zunächst Et(u, t) = 0, außerdem ist E(0) = 0. Daraus folgt schließlich E ≡ 0 und somit ut = ux = 0, also u konstant. Da u am Rand verschwindet, folgt u ≡ 0 und somit \begin{eqnarray}v\equiv w,\end{eqnarray} also die Eindeutigkeit der Lösung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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