häufig verwendete Beweistechnik für die Frage der Eindeutigkeit der Lösung gewöhnlicher oder partieller Differentialgleichungen. Sie ist anwendbar bei allen zeitabhängigen Problemen, bei denen in der physikalischen Interpretation Energie erhalten bleibt.

Die übliche Vorgehensweise beruht auf der Idee, für zwei potentielle Lösungen v und w die Funktion u ≔ v − w zu betrachten und mit dieser eine Energiefunktion E(u, t) zu finden mit E_t(u, t) = 0. Diese Beziehung wird dann genutzt, um u = 0 abzuleiten, und damit die Eindeutigkeit zu zeigen.

Als illustratives Beispiel betrachte man das Anfangsrandwertproblem \begin{array}{l}{u}_{tt}-{u}_{xx}=f(x,t),\,\,\,\,0\lt x\lt 1,\,\,\,t\gt 0\\ u(0,t)={\phi }_{0}(t),\,\,\,\,u(1,t)={\phi }_{1}(t),\\ u(x,0)={u}_{0}(x),\,\,\,\,{u}_{t}(x,1)={u}_{1}(x),\end{array} mit vorgegebenen Funktionen φ₀, φ₁, u₀ und u₁.

Gefunden seien zwei Lösungen v und w. Für die Differenzfunktion u ≔ v − w ist dann \begin{eqnarray}{u}_{tt}-{u}_{xx}=0\end{eqnarray} sowie \begin{eqnarray}u(0,t)=u(1,t)=0\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}u(x,0)={u}_{t}(x,1)=0.\end{eqnarray}

Als Energie definiert man nun \begin{eqnarray}E(u,t)=\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{2}({u}_{t}{(x,t)}^{2}+{u}_{x}{(x,t)}^{2})\,dx.\end{eqnarray}

Durch partielle Integration zeigt man zunächst E_t(u, t) = 0, außerdem ist E(0) = 0. Daraus folgt schließlich E ≡ 0 und somit u_t = u_x = 0, also u konstant. Da u am Rand verschwindet, folgt u ≡ 0 und somit \begin{eqnarray}v\equiv w,\end{eqnarray} also die Eindeutigkeit der Lösung.