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Lexikon der Mathematik: Exponentialfamilie

Menge (Pγ)γ∈Γ) von absolut stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, deren Dichtefunktionen sich in einer bestimmten Form darstellen lassen.

Es sei (Pγ)γ∈Γ) eine Menge (auch Familie genannt) von absolut stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diese Familie gehört zur Exponentialfamilie, wenn eine Zahl k ∈ ℕ und Funktionen \begin{eqnarray}{W}_{j}:\Gamma \to {{\mathbb{R}}}^{1}\,\,\text{und}\,\,{T}_{j}:{{\mathbb{R}}}^{1}\to {{\mathbb{R}}}^{1}\end{eqnarray}

für j = 1,…, k existieren, so daß sich die Dichte fγ (x) jeder Verteilung Pγ der Familie in der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{f}_{\gamma }(x)={e}^{\left(\displaystyle {\sum }_{j=1}^{k}{W}_{j}(\gamma ){T}_{j}(x)+{W}_{0}(\gamma )+{T}_{0}(\gamma )\right)}\end{array}\end{eqnarray}

für x ∈ ℝ1 und γ ∈ Γ darstellen läßt.

Die Exponentialfamilie umfaßt beispielsweise die Familien der Exponential-, der χ2- und der Gamma-Verteilung.

Die Exponentialverteilungsdichte erhalten wir beispielsweise aus (1) offensichtlich bei einer Wahl von γ = λ, k = 1, sowie \begin{array}\text{W}_{0}(\gamma )=\mathrm{ln}(\lambda ),{W}_{1}(\gamma )=-\lambda, \\ {T}_{0}(x)=0,\,\,{T}_{1}(x)=x.\end{array}

Die Dichte der Normalverteilung ergibt sich mit γ = (µ, σ2), k = 2, sowie \begin{array}\text{W}_{0}(\gamma )=\frac{{\mu }^{2}}{2{\sigma }^{2}}-\mathrm{ln}(\sigma )-\frac{1}{2}\mathrm{ln}(2\pi ),\\ {W}_{1}(\gamma )=\frac{\mu }{{\sigma }^{2}},\,\,{W}_{2}(\gamma )=-\frac{1}{2{\sigma }^{2}},\\ {T}_{0}(x)=0,\,\,{T}_{1}(x)=x,\,\,{T}_{2}(x)={x}^{2}.\end{array}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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