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Lexikon der Mathematik: Fano-Varietät

eine glatte komplette algebraische Varietät V mit der Eigenschaft, daß das antikanonische Bündel \({K}_{V}^{-1}\) ampel ist.

Jede Fano-Varietät ist rational zusammenhängend (Campana 1992) und daher einfach zusammenhängend.

Die Picard-Gruppe ist eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe, die größte natürliche Zahl r mit KVrPic(V) heißt Index i(V) der Fano-Varietät. Ein wichtiges allgemeines Resultat ist der folgende Satz von Kobayashi-Ochiai:

Wenn V eine Fano-Varietät ist, so gilt:

  1. (1) i(V) ≤ dim(V) + 1,
  2. (2) i(V) = dim(V) + 1 = n + 1, dann ist V ≃ ℙn,
  3. (3) i(V) = dim(V) = n, dann ist V eine Quadrik inn+1.

< ?PageNum _131Ein weiteres fundamentales Resultat besagt, daß es zu jeder gegebenen Dimension nur endlich viele Klassen von deformationsäquivalenten Fano-Varietäten gibt. Fano-Varietäten der Dimension 2 sind die del Pezzo-Flächen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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