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Lexikon der Mathematik: Filter

in verschiedenen Bereichen der Mathematik unterschiedlich interpretierter Begriff.

In der Topologie ist ein Filter ein nicht-leeres System \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\) von Teilmengen eines topologischen Raumes X, welches den folgenden Bedingungen genügt:

  • Ist A ∈ \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\) und AB, so ist auch B ∈ \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\).
  • Sind A, B ∈ \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\), so ist auch AB ∈ \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\).
  • Die leere Menge ist nicht in \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\) enthalten. Sind \({{\mathcal {F}}}_{1}\) und \({{\mathcal {F}}}_{2}\) zwei Filter, so heißt \({{\mathcal {F}}}_{1}\) feiner als \({{\mathcal {F}}}_{2}\), wenn jede Menge von \({{\mathcal {F}}}_{2}\) zu \({{\mathcal {F}}}_{1}\) gehört. Der Filter \({{\mathcal {F}}}_{2}\) heißt dann auch gröber als \({{\mathcal {F}}}_{1}\).
  • Die Obermengen einer nicht-leeren Menge AX bilden einen Filter.
  • • Die Umgebungen eines Punktes pX bilden den sogenannten Umgebungsfilter.
In der Signalverarbeitung werden dagegen Filter zur Trennung oder Hervorhebung bestimmter Frequenzbereiche eines Signals verwendet. Dazu wird das Signal klassischerweise mit Hilfe der Fouriertransformation in seine einzelnen Frequenzen zerlegt. Gebräuchliche Filter sind die linearen Faltungsfilter, die als Faltung f * h des Signals f mit einer Maske h dargestellt werden können.

In der Wavelettheorie wird auch die Folge {hk} der Koeffizienten in der Skalierungsgleichung

\begin{eqnarray}\begin{equation}\phi(x)=\sqrt{2}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}h_{k}\phi(2x-k)\end{equation}\end{eqnarray}

als Filter bzw. Maske bezeichnet.

Siehe auch Filter auf einer partiell geordneten Menge, Filterbasis, Filterkonvergenz.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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