Lexikon der Mathematik: Filter
in verschiedenen Bereichen der Mathematik unterschiedlich interpretierter Begriff.
In der Topologie ist ein Filter ein nicht-leeres System \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\) von Teilmengen eines topologischen Raumes X, welches den folgenden Bedingungen genügt:
- Ist A ∈ \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\) und A ⊂ B, so ist auch B ∈ \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\).
- Sind A, B ∈ \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\), so ist auch A ∩ B ∈ \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\).
- Die leere Menge ist nicht in \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\) enthalten.
Sind \({{\mathcal {F}}}_{1}\) und \({{\mathcal {F}}}_{2}\) zwei Filter, so heißt \({{\mathcal {F}}}_{1}\) feiner als \({{\mathcal {F}}}_{2}\), wenn jede Menge von \({{\mathcal {F}}}_{2}\) zu \({{\mathcal {F}}}_{1}\) gehört. Der Filter \({{\mathcal {F}}}_{2}\) heißt dann auch gröber als \({{\mathcal {F}}}_{1}\). - Die Obermengen einer nicht-leeren Menge A ⊂ X bilden einen Filter.
- • Die Umgebungen eines Punktes p ∈ X bilden den sogenannten Umgebungsfilter.
In der Wavelettheorie wird auch die Folge {hk} der Koeffizienten in der Skalierungsgleichung
\begin{eqnarray}\begin{equation}\phi(x)=\sqrt{2}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}h_{k}\phi(2x-k)\end{equation}\end{eqnarray}
als Filter bzw. Maske bezeichnet.Siehe auch Filter auf einer partiell geordneten Menge, Filterbasis, Filterkonvergenz.
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