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Lexikon der Mathematik: Fourier-Polynom

ganz allgemein ein Element eines orthogonalen Polynomsystems {ϕk}.

Die Entwicklung einer Funktion f der Form ∑ckϕk mit Koeffizienten ck heißt Fourier-Reihe von f bzgl. der Fourier-Polynome {ϕk}.

Im Sinne der Approximationstehorie sieht man ein Fourier-Polynom auch an als das Polynom bester Approximation bei Approximation in einem Hilbertraum H. Ist {v0, …, vn} eine Orthonormal- basis eines Unterraums V von H, so ist das FourierPolynom tn zu fH definiert als

\begin{eqnarray}\begin{equation} t_{n}(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{v=1}^{n}(a_{v}\cos(vx)+b_{v}\sin(vx)) \end{equation}\end{eqnarray}

mit den Fourier-Koeffizienten

\begin{eqnarray}\begin{equation} b_{v}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin(vx)dx \end{equation}\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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