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Lexikon der Mathematik: Gedächtnislosigkeit

auch Nichtalterungseigenschaft, spezielle Eigenschaft einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf der σ-Algebra \({\mathfrak{B}}({{\mathbb{R}}}_{0}^{+})\) der Borelschen Mengen von \({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) heißt gedächtnislos, wenn für alle x, t ∈ ℝ+ mit P((t, ∞)) > 0 die Beziehung \begin{eqnarray}P((t+x,\infty )|(t,\infty ))=P((x,\infty ))\end{eqnarray} erfüllt ist. Entsprechend heißt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Q auf der Potenzmenge \({\mathfrak{P}}({\mathbb{N}})\) der natürlichen Zahlen gedächtnislos, wenn für alle x, t ∈ ℕ0 mit Q({n ∈ ℕ : n > t}) > 0 die Gleichung \begin{eqnarray}Q(\{n\in {\mathbb{N}}:n\gt t+x\}|\{n\in {\mathbb{N}}:n\gt t\})=Q(\{n\in {\mathbb{N}}:n\gt x\})\end{eqnarray} gilt. In diesem Sinne sind die Exponentialverteilung zum Parameter λ > 0 und die geometrische Verteilung zum Parameter p ∈ (0, 1) die einzigen gedächtnislosen Verteilungen.

Ist X eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},\space {\mathfrak{A}},\space P)\) mit Werten in \({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) bzw. ℕ, welche die kontinuierliche bzw. diskrete Wartezeit bis zum Eintreten eines bestimmten Phänomens angibt, so bedeutet die Gedächtnislosigkeit der Verteilung PX, daß das Wissen, daß das Phänomen bis zum Zeitpunkt t noch nicht eingetreten ist, die Wahrscheinlichkeit nicht verändert, daß es auch in den nächsten x Zeiteinheiten nicht eintritt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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