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Lexikon der Mathematik: Geburts- und Todesprozeß

eine homogene Markow-Kette (X(t), tT) mit stetiger Zeit und endlichem oder abzählbarem Zustandsraum E ⊆ {0,1, 2,…}, deren Sprünge absolut genommen stets die Höhe 1 haben.

Geburts- und Todesprozesse springen also von einem Zustand nur in seine Nachbarzustände. Bezeichnet man mit qij die Übergangsintensitäten von einem Zustand i nach einen Zustand j, d. h. \begin{eqnarray}{q}_{ij}=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to 0}\frac{P(X(s+t)=j/X(s)=i)}{t},\end{eqnarray} so gilt qij = 0, falls |ij| > 1. Mit den Bezeichnungen \begin{eqnarray}{\lambda }_{i}:={q}_{ii}+1\\ {\mu }_{i}:={q}_{ii}-1\end{eqnarray} wird λi als Geburtsintensität und μi als Todesintensität bezogen auf den Zustand i gedeutet. Die Abbildung zeigt den typischen Markowgraphen für Geburts- und Todesprozesse.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Geburts- und Todesprozeß
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Markowgraph eines Geburts- und Todesprozesses

In der Theorie von Geburts- und Todesprozessen geht es unter anderem darum zu untersuchen, unter welchen Bedingungen (X(t), tT) eine ergodische Zustandsverteilung \begin{eqnarray}{p}_{i}^{* }:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to \infty }P(X(t)=i),\space \space i\in E\end{eqnarray} besitzt, und darum, diese ergodische Verteilung zu berechnen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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