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Lexikon der Mathematik: Graßmann-Varietät

Graßmannsche Varietät, glatte algebraische Varietät, die wie folgt definiert ist.

Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k und q eine ganze Zahl mit 0 < q < dim V.

Die Menge aller Unterräume der Kodimension q entspricht umkehrbar eindeutig der Menge der Punkte einer glatten algebraischen Varietät Grq(V) ⊂ ℙ (∧qV). Diese heißt die Graßmann-Varietät der Unterräume der Kodimension q, sie hat die Dimension q (dim(V) − q), und die Einbettung in ℙ (∧qV) heißt die Plücker-Einbettung.

Ist (e1,…, en) eine Basis von V, so ist \begin{eqnarray}({p}_{{i}_{1}\mathrm{\ldots }{i}_{q}}={e}_{{i}_{1}}\,\wedge \mathrm{\ldots }\wedge {e}_{{i}_{q}}|1\le {i}_{1}\lt \mathrm{\ldots }\lt {i}_{q}\le n)\end{eqnarray} eine Basis von ∧qV, und die entsprechenden homogenen Koordinaten heißen Plücker-Koordinaten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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