die durch formale Summen gebildete Algebra über einer Gruppe.

Ist G eine endliche Gruppe und K ein kommutativer Ring, so definiert man die Gruppenalgebra \({\mathfrak{G}}\) = K[G] durch formale Summen \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{g\in G}{\lambda}_{g}g\end{eqnarray} von Elementen in g mit Koeffizienten aus K. Die Addition ist komponentenweise definiert. Das Produkt ist nun durch ein formales Distributivgesetz erklärt: \begin{eqnarray}\left(\displaystyle \sum _{g\in G}{\mu }_{g}g\right)\,\cdot\,\left(\displaystyle \sum _{h\in G}{\lambda}_{h}h\right)\,:=\,\displaystyle \sum _{s\in G}\displaystyle \sum _{g,h\in G,g\cdot h=s}{\mu }_{g}{\lambda}_{h}s\end{eqnarray}

Für unendliche Gruppen betrachte man zunächst diejenige Algebra, die aus formalen Summen mit nur endlich vielen Summengliedern besteht, d. h. fast alle Koeffizienten müssen 0 sein.

Ist G eine lokal kompakte topologische Hausdorffsche Gruppe und µ das linksinvariante Haar-Maß auf G, so konstruiert man analog dem obigen Verfahren die L¹-Gruppenalgebra durch kompakt getragene Abbildungen von G nach K = ℂ oder K = ℝ vermöge des Produktes \begin{eqnarray}(x\,\cdot \,y)\,(g)\,:=\,\displaystyle \mathop{\int }\limits_{G}x(h)y({h}^{-1}g)d\mu (h)\end{eqnarray} und punktweiser Addition, und schließt diese Algebra bezüglich der L¹-Norm \begin{eqnarray}\Vert x\Vert \,\,:=\,\,\displaystyle \int G|x(h)|d\mu (h)\end{eqnarray} ab.

Typischerweise besitzt L¹(G) kein multiplikatives Eins-Element. Eine multiplikative Eins läßt sich jedoch immer hinzuadjungieren, indem man die Unitalisierung L^1,+(G) zunächst als ℂ × L¹(G) mit komponentenweiser Addition und der Multiplikation \begin{eqnarray}(\alpha ,f)\,\cdot \,(\beta ,g)\,\,:=\,(\alpha \beta, \,\beta f\,+\,\alpha g\,+\,f\cdot g)\end{eqnarray} definiert und dann nachweist, daß auf diese Weise eine unitale Banach-∗-Algebra mit Einselement (1, 0) entsteht, die man dann die Gruppenalgebra von G nennt. Ist G eine diskrete Gruppe, so ist L^1,+(G) = L¹(G), d. h. L¹(G) ist bereits unital.

Die Gruppenalgebra ist immer eine halbeinfache Algebra, sie ist algebraisch isomorph zu einer Unteralgebra C(\({\mathfrak{M}}\)), der Algrebra aller stetigen Funktionen auf dem kompakten Hausdorffraum \({\mathfrak{M}}\) der maximalen Ideale in L^1,+(G). Bezeichnen wir die zu einem f ∈ L^1,+(G) gehörende Funktion in C(\({\mathfrak{M}}\)) mit \(\hat{f}\), so ist \begin{eqnarray}\mathop{\sup }\limits_{M\in {\mathfrak{M}}}\,|\hat{f}(M)|\,\,\le \,\,\Vert f\Vert \end{eqnarray}

L¹(G) ist insbesondere ein Element von \({\mathfrak{M}}\) dann und nur dann, wenn G nicht diskret ist.

[1] Bratteli, O.; Robinson, D.W.: Operator algebras and quantum statistical mechanics. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1979.