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Lexikon der Mathematik: Halm einer Prägarbe

Konzept in der Garbentheorie, welches im Falle der Strukturgarben algebraischer Varietäten gerade den Begriff des lokalen Ringes zurückgibt.

Sei X ein topologischer Raum, und sei pX. \({{\mathbb{U}}_{p}}\) bezeichne die Menge der offenen Umgebungen von p. Sei \(\mathcal{F}\) eine Prägarbe über X. Auf der Menge

  1. (i) \(\mathcal{F}(\mathbb{U}_{p}):=\{(m,U)\vert U\in \mathbb{U}_{p},m\in\mathcal{F}(U)\}\) definiert man eine Äquivalenzrelation ~p durch
  2. (ii) \((m,U)\sim_{p}(n,V):\Leftrightarrow \exists W\in\mathbb{U}_{p}\) mit WUV und \(\varrho _{W}^{U}(m)=\varrho _{W}^{V}(n)\). Die Klasse von (m, U) bezeichnet man mit mp und nennt diese den Keim des Schnittes m in p :
  3. (iii) \(m_{p}:=(m,U)/\sim_{p};\ ((m,U)\in\mathcal{F}(\mathbb{U}_{p})).\) Die Menge aller Keime mp in p bezeichnet man mit \(\mathcal{F}_p\) und nennt man den Halm von \(\mathcal{F}\) in p:
  4. (iv) \(\mathcal{F}_{p}:=\mathcal{F}(\mathbb{U}_{p})/\sim_{p}=\{m_{p}\vert (m,U)\in\mathcal{F}(\mathbb{U}_{p})\}.\) Der Halm \(\mathcal{F}_p\) erbt in natürlicher Weise die algebraische Struktur der Prägarbe \(\mathcal{F}\). Ist also etwa \(\mathcal{F}\) eine Prägarbe (additiv geschriebener) abelscher Gruppen, so kann man auf \(\mathcal{F}_p\) eine Addition von Keimen einführen durch
  5. (v) \(m_{p}+n_{p}:=\Bigl(\varrho_{W}^{U}(m)+\varrho_{W}^{V}(m)\Bigr)_{p},\) wobei ((m, U), \((n,V)\in\mathcal{F}(\mathbb{U}_{p})\); WUp, WUV).
  6. (vi) Bezüglich der in (v) definierten Addition ist der Halm \(\mathcal{F}\) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0p. Ist U ∈ \({{\mathbb{U}}_{p}}\), so ist die durch mmp definierte Abbildung \(\varrho _{p}^{U}=\mathcal{F}(U)\to {{\mathcal{F}}_{p}}\)ein Homomorphismus. Dabei gilt \(\varrho _{p}^{U}\circ \varrho _{p}^{U}=\varrho _{p}^{U}\); (VU, V ∈ \({{\mathbb{U}}_{p}}\)). Ist \(\mathcal{A}\) eine Prägarbe von Ringen (resp. von ℂ-Algebren), so wird der Halm \(\mathcal{A}_p\) entsprechend zum Ring und die kanonische Abbildung \(\varrho _{p}^{U}:\mathcal{A}(U)\to {{\mathcal{A}}_{p}}\) zum Homomorphismus von Ringen (resp. von ℂ-Algebren). Die Addition auf \(\mathcal{A}_p\) wird dabei gemäß (v) definiert und die Multiplikation gemäß
  7. (vii) \(a_{p}b_{p}:=\Bigl(\varrho_{W}^{U}(a)\varrho_{W}^{V}(b)\Bigr)_{p},\) wobei (a, U), (b, V) ∈ \(\mathcal{A}\left( {{\mathbb{U}}_{p}} \right)\) ; W ∈ \({{\mathbb{U}}_{p}}\), WUV. Für Garben wird die besondere Bedeutung des Keim-Begriffs belegt durch folgende Aussage.
  8. (viii) Sei \(\mathcal{F}\)eine Garbe über X, sei UX offen und nicht leer, und seien m, n ∈ \(\mathcal{F}\)(U) zwei Schnitte von \(\mathcal{F}\)über U. Dann gilt \begin{eqnarray}m=n\Leftrightarrow m_{p}=n_{p}\forall p\in U.\end{eqnarray}

Im Falle der Strukturgarbe \({{\mathcal{O}}_{x}\) einer algebraischen Varietät sind die Halme offenbar gerade die lokalen Ringe: \({\mathcal{O}}_{{X,p}}={{({\mathcal{O}}_{X}})_{p}}\). Natürlich entspricht der in (iii) eingeführte Keimbegriff in diesem Fall gerade dem Keimbegriff für reguläre Funktionen.

[1] Brodmann, M.: Algebraische Geometrie. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin, 1989.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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