ein System orthogonaler Polynome \(\{{P}_{n}^{(\alpha, \beta )}\}\) auf dem Intervall [−1, 1], definiertdurch die Gewichtsfunktion \begin{eqnarray}h(x)={(1-x)}^{\alpha }{(1+x)}^{\beta }\end{eqnarray} mit \(\alpha, \beta \in {\mathbb{R}},\alpha, \beta \gt -1\).

Die Darstellung mittels der Rodrigues-Formel lautet \begin{eqnarray}{P}_{n}^{(\alpha, \beta )}(x)=\frac{{(-1)}^{n}}{n!{2}^{n}}{(1-x)}^{-\alpha }{(1+x)}^{-\beta }\frac{{d}^{n}}{d{x}^{n}}\left[{(1-x)}^{\alpha }{(1+x)}^{\beta }{(1-{x}^{2})}^{n}\right].\end{eqnarray}\({P}_{n}^{(\alpha, \beta )}\) genügt der Differentialgleichung \begin{eqnarray}{(1-x)}^{2}{y}{^{\prime\prime} }+[\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x]{y}{^{\prime} }+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.\end{eqnarray} Spezialfälle sind beispielsweise die Legendre-Polynome (1. Art) \((\alpha =\beta =-\frac{1}{2})\) und die Gegenbauer-Polynome (α = ß).