Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Koalgebra

(über einem Ring R), ein Tripel (C, Δ α) bestehend aus einem Modul C über dem kommutativen Ring R mit 1, einer R-linearen Abbildung Δ : CCC, die Komultiplikation oder Diagonalabbildung genannt wird, und einer R-linearen Abbildung α : CR, die Koeinheit oder Augmentation genannt wird.

Es seien die folgenden Bedingungen erfüllt:

  1. (Δ⊗idC)○Δ = (idC⊗Δ)○Δ für die Abbildungen CCCC.
  2. (αidC) ○ Δ = tl und (idCα) ○ Δ = tr mit den Abbildungen tl : CRC, x ↦ 1 ⊗ x und tr : CCR, xx ⊗ 1.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Koalgebra
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
 Bild vergrößern

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Koalgebra
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
 Bild vergrößern

Ein Beispiel einer Koalgebra ist die Gruppenalgebra 𝕂[G] einer Gruppe G über einem Körper 𝕂. Sie ist der Vektorraum über 𝕂 mit Basis {eg | gG} und Multiplikation m, definiert durch \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{g\in G}{\alpha }_{g}{e}_{g}\,\cdot\,\displaystyle \sum _{f\in G}{\beta }_{f}{e}_{f}.\,:=\,\displaystyle \sum _{f,g\in G}{\alpha }_{g}{\beta }_{f}{e}_{gf}.\end{eqnarray}

Die Komultiplikation \begin{eqnarray}\Delta\,:\,{\mathbb{K}}[G]\to {\mathbb{K}}[G]\otimes{\mathbb{K}}[G]\,\,\end{eqnarray} wird induziert durch egegeg. Die Koeinheit α : 𝕂[G] → 𝕂 wird induziert durch eg ↦ 1K. Damit trägt 𝕂[G] neben der Algebrenstruktur auch eine Koalgebrenstruktur.

In der Tat ist 𝕂[G] eine Bialgebra.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos