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Lexikon der Mathematik: Kodimension-k-Bifurkationen

eine Bifurkation, deren Parameterraum J ∈ ℝk die Dimension k hat.

Normalformen von Bifurkationen der Kodimension k können durch Polynome (k + 1)-ten Grades dargestellt werden: \begin{eqnarray}\dot{x}=f(x,\mu )={P}_{N}(x,\mu ),\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}{P}_{N}(x,\mu )=\displaystyle \sum _{\text{i}+1}^{N}{a}_{i}(\mu ){x}^{\text{i}}\end{eqnarray} mit N = k + 1, x, f, ai ∈ ℝ und µ ∈ ℝp, p ≥ 1. Die Polynome können als abgebrochene Taylor-Entwicklungen eines allgemeinen Vektorfeldes aufgefaßt werden. Dabei ist PN eine (N + 1)-parametrige Kurvenschar mit den Scharparametern a0(µ),…,aN(µ). Diese Scharparameter hängen von den p Parametern µ1µp ab. Wenn eine kleine Änderung der Parameter µ zu einer qualitativen Änderung der Dynamik des Systems führt, so ist dies äquivalent zur Änderung der Eigenschaften des Polynoms (Nullstellen, stationäre Punkte). Beispielsweise findet man:

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Kodimension-<i/>k-Bifurkationen
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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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