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Lexikon der Mathematik: kohärente Garbe

endliche und relationsendliche Garbe.

Eine freie Auflösung für eine Garbe von Moduln \({\mathcal{S}}\) über einer Garbe von Ringen \({\mathcal{R}}\) ist eine exakte Sequenz von Garben von \({\mathcal{R}}\)-Moduln der Form \begin{eqnarray}\mathcal{R}^{{p}_{m}}\mathop{\to }\limits^{{\lambda }_{m}}\mathcal{R}^{{p}_{m-1}}\to \ldots \to \mathcal{R}^{{p}_{1}}\mathop{\to }\limits^{{\lambda }_{1}}\mathcal{R}^{p}\mathop{\to }\limits^{{\lambda }_{0}}\mathcal{S}\to 0,\end{eqnarray}

die ganze Zahl m ≥ 0 heißt Länge der freien Auflösung. Wenn \(\mu : {\mathcal{S}}\rightarrow T\) ein beliebiger Homo-morphismus von Garben von \({\mathcal{R}}\)-Moduln ist, dann untersucht man, ob es zu µ einen Homomorphismus \(\lambda : {\mathcal{R}}^p\rightarrow {\mathcal{S}}\) gibt, so daß \begin{eqnarray}\mathcal{R}^{p}\mathop{\to }\limits^{\lambda }\mathcal{S}\mathop{\to }\limits^{\mu }\mathcal{T}\end{eqnarray} eine exakte Sequenz von Garben von \({\mathcal{R}}\)-Moduln ist; beispielsweise ist in einer freien Auflösung (1) jeder Homomorphismus λi auf diese Weise dem Homomorphismus λi−1 zugeordnet.

Sei \({\mathcal{S}}\) eine Garbe von Moduln über einer Garbe von Ringen \({\mathcal{R}}\) über einem topologischen Raum D. Die Garbe \({\mathcal{S}}\) nennt man kohärente Garbe von \({\mathcal{R}}\)Moduln, wenn es für jeden Punkt wD und jede ganze Zahl m ≥ 0 eine offene Umgebung U von w in D gibt, über der \({\mathcal{S}}\) eine freie Auflösung der Länge m zugeordnet werden kann.

Dies ist offensichtlich eine lokale Bedingung. Daher ist eine Garbe \({\mathcal{S}}\) genau dann kohärent, wenn sie in einer offenen Umgebung jedes Punktes von D kohärent ist. Wenn sich die Garbe \({\mathcal{R}}\) von Ringen hinreichend gut verhält, dann ist die Eigenschaft der Kohärenz wesentlich leichter in Griff zu bekommen. Die gebräuchlichsten Garben sind von diesem Typ, nämlich Oka-Garben von Ringen: Eine Garbe von Ringen \({\mathcal{R}}\) über einem topologischen Raum D heißt Oka-Garbe von Ringen, wenn für eine beliebige offene Teilmenge UD und jeden Punkt wU jedem Garben-Homomorphismus \(\mu:(\mathcal{R}|{U})^p\rightarrow(\mathcal{R}|{U})^q\) in einer offenen Umgebung von w ein Homomorphismus λ in der oben beschriebenen Weise (2) zugeordnet werden kann.

Betrachtet man eine freie Auflösung der Länge Eins für eine Garbe von \({\mathcal{R}}\)-Moduln über einem Raum D, d. h. eine exakte Sequenz der Form \begin{eqnarray}\mathcal{R}^{{p}_{1}}\mathop{\to }\limits^{{\lambda }_{1}}\mathcal{R}^{p}\mathop{\to }\limits^{{\lambda }_{0}}\mathcal{S}\to 0,\end{eqnarray} dann kann man die Situation folgendermaßen beschreiben: Sei Ej ∈ Γ (D, \({\mathcal{R}}\)p), j = 1, 2, …, p, der kanonische Schnitt Ej = (0, …, 0, 1, 0, …, 0), mit der 1 an der j-ten Stelle. Diese Schnitte erzeugen den Halm \(\mathcal{R}_{w}^{p}\) an jeder Stelle wD als einen \({\mathcal{R}}_w\)-Modul. Aus der Exaktheit der Sequenz (3) folgt daher für die Bilder λ0 (Ej) = Hj ∈ Γ (D, \({\mathcal{S}}\)), daß die Werte dieser Schnitte an jedem Punkt wD den Halm \({\mathcal{S}}_w\) als einen \({\mathcal{R}}_w\)-Modul erzeugen. Eine Menge von Schnitten Hj mit dieser Eigenschaft nennt man eine Menge von Erzeugern für die Garbe \({\mathcal{S}}\) über D, und die Garbe \({\mathcal{S}}\) nennt man eine endlich erzeugte Garbe von \({\mathcal{R}}\)-Moduln über D oder eine Garbe von endlichem Typ über D. Für jeden Punkt wD und jedes Element \({F}_{w}=({f}_{1},\ldots,{f}_{p})\in \mathcal{R}_{w}^{p}\) hat die Abbildung λ0 die Form \begin{eqnarray}{\lambda }_{0}({F}_{w})={\lambda }_{0}\left(\displaystyle \sum _{j=1}^{p}{\text{f}}_{j}{E}_{j}\right)=\displaystyle \sum _{j=1}^{p}{\text{f}}_{j}{({H}_{j})}_{w}\in \mathcal{S}_{w}.\end{eqnarray}

Der Kern von λ0 kann daher geschrieben werden als die Menge aller Elemente der Form \(({\text{f}}_{1},\ldots,{\text{f}}_{p})\in \mathcal{R}_{w}^{p}\), so daß \(\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p}{\text{f}}_{j}{({H}_{j})}_{w}=0,\)daher bezeichnet man den Kern als die Garbe der Relationen zwischen den Erzeugern {Hj} der Garbe S. Wegen der Exaktheit der Sequenz (3) kann man voraussetzen, daß die Relationsgarbe auch endlich erzeugt über der Garbe D ist, und man erhält den folgenden Satz:

Sei \({\mathcal{R}}\)eine Oka-Garbe von Ringen über einem topologischen Raum D. Eine Garbe von Moduln \({\mathcal{S}}\)über der Garbe von Ringen \({\mathcal{R}}\)ist genau dann kohärent, wenn es zu jedem Punkt wD eine offene Umgebung U von w in D gibt, so daß die Einschränkung \({\mathcal{S}}\) | U und die Garbe der Relationen zwischen den Erzeugern von \({\mathcal{S}}\) | U endlich erzeugte Garben von \(({\mathcal{R}}|{\mathcal{R}})\)-Moduln über U sind.

Die beiden folgenden fundamentalen Sätze liefern zwei Beispiele für kohärente Garben:

Theorem von Oka. Die Garbe n𝒪 = 𝒪 (D) der Keime der holomorphen Funktionen auf einer offenen Teilmenge D ⊂ ℂnist eine Oka-Garbe von Ringen.

Für eine analytische Untervarietät eines Gebietes D ⊂ ℂnist die Garbe \({\mathcal{I}}\) (V) ⊂ 𝒪 (D) der Ideale der Untervarietät V eine kohärente analytische Garbe von D (d. h. eine kohärente Garbe von n𝒪-Moduln über D).

[1] Gunning, R.; Rossi, H.: Analytic Functions of Several Complex Variables. Prentice Hall Inc. Englewood Cliffs, N.J., 1965.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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