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Lexikon der Mathematik: komplexe Transformationsgruppe

wichtiger Begriff für die Theorie komplexer Räume.

Ist X ein komplexer Raum und G eine Untergruppe der Automorphismengruppe \begin{eqnarray}Aut\ (X):=\{f:X\to X\ \text{biholomorph}\},\end{eqnarray}

dann nennt man G eine Transformationsgruppe von X. Eine Transformationsgruppe G auf dem komplexen Raum X operiert

i) frei, wenn außer idX kein Element gG einen Fixpunkt in G besitzt, und

ii) eigentlich diskontinuierlich, wenn es für jede kompakte Menge KX nur endlich viele gG gibt, so daß Kg (K) ≠ ∅.

Wenn G eine Transformationsgruppe auf einem komplexen Raum X ist, dann wird durch \begin{eqnarray}{{x}_{1}} {\sim} {{x}_{2}}:\iff \exists g \in G\ \text{mit}\ g{x}_{1}={x}_{2}\end{eqnarray}

eine Äquivalenzrelation RG auf X bestimmt, deren Äquivalenzklassen die Orbits G (x) := {gx; gG} bezüglich G sind. Der Quotientenraum X/RG heißt Orbitraum. Für einen reduzierten komplexen Raum X schreibt man auch X/G. Es gilt folgender Satz.

Sei X eine komplexer Raum und GAut (X) eine Untergruppe. Wenn G endlich ist, oder wenn X reduziert ist, und G eigentlich diskontinuierlich auf X operiert, dann ist der geringte Raum X/RG ein komplexer Raum.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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