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Lexikon der Mathematik: Konvergenz im p-ten Mittel

Konvergenz einer Folge (Xn)n∈ℕ von auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierten reellen Zufallsvariablen bezüglich der Halbnorm des Raumes ℒp(Ω) der meßbaren, p-fach integrierbaren Abbildungen von Ω nach ℝ, 1 ≤ p < ∞.

Die Folge (Xn)n∈ℕ der p-fach integrierbaren Zufallsvariablen Xn konvergiert also genau dann im p-ten Mittel gegen eine ebenfalls auf (Ω, 𝔄, P) definierte p-fach integrierbare reelle Zufallsvariable X, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{\left(\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Omega }|{X}_{n}-X{|}^{p}dP|\right)}^{1/p}=0\end{eqnarray}

gilt. Eine analoge Definition gilt für Funktionenfolgen.

Im Falle p = 1 spricht man kurz von Konvergenz im Mittel und im Falle p = 2 von Konvergenz im quadratischen Mittel.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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