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Lexikon der Mathematik: Konvergenz im Sinne der endlichdimensionalen Verteilungen

genauer wesentliche Konvergenz im Sinne der endlichdimensionalen Verteilungen, durch Einschränkung der die wesentliche Konvergenz definierenden Eigenschaft auf die Klasse der Zylindermengen definierter Konvergenzbegriff.

Ist Ω einer der Räume ℝ, C oder D (s.u.), und 𝔅(Ω) die σ-Algebra der Borelschen Mengen von Ω, so heißt eine Folge (Pn)n∈ℕ von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf 𝔅(Ω) im Sinne der endlichdimensionalen Verteilungen wesentlich konvergent gegen ein ebenfalls auf 𝔅(Ω) definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß P, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{P}_{n}(A)=P(A)\end{eqnarray}

für alle Zylindermengen A mit P(∂A) = 0 gilt. Man schreibt \({P}_{n}\mathop{\Rightarrow }\limits^{f}P\). Dabei bezeichnet C den Raum der auf [0, 1] definierten stetigen Funktionen, D den Raum der auf [0, 1] definierten rechtsstetigen Funktionen mit linksseitigen Limiten und ∂A den Rand von A. In ℝ folgt aus \({P}_{n}\mathop{\Rightarrow }\limits^{f}P\) die schwache Konvergenz der Folge (Pn)n∈ℕ gegen P, d. h. in ℝ bilden die Zylindermengen eine Konvergenz bestimmende Klasse. Für die Räume C und D gilt dieser Sachverhalt nicht.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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