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Lexikon der Mathematik: Kupsch-Sandhas-Theorem

Theorem aus der Streutheorie zur Existenz der verallgemeinerten Wellenoperatoren Ω±(A, B), das wie folgt lautet.

A und B seien selbstadjungierte Operatoren. Es werde angenommen, daß es einen beschränkten Operator χ und einen Unterraum \(\begin{eqnarray}{\mathcal{D}}\subset D(B)\cap {P}_{ac}(B) {\mathcal H} \end{eqnarray}\)gibt, der in \(\begin{eqnarray}{P}_{ac}(B) {\mathcal H} \end{eqnarray}\)dicht ist, sodaß für irgendein ϕ ∈ \({\mathcal{D}}\)ein T0existiert mit den Eigenschaften:

1. Für |t| > T0ist (1 − χ)eiBt φD(A),

2. \(\begin{eqnarray}\displaystyle \underset{{T}_{0}}{\overset{\infty }{\int }}[\Vert C{e}^{-iBt}\phi \Vert +\Vert C{e}^{+iBt}\phi \Vert ]\,\,dt\lt \infty, \end{eqnarray}\)wobei C = A(1 − χ) − (1 − χ)B.

Ferner sei angenommen, daß für ein gewisses n χ(B + i)n kompakt und \({\mathcal{D}}\) ⊂ D(Bn) ist. Dann existieren Ω±(A, B).

Für die Bezeichnungen und weitere Erläuterungen siehe [1].

[1] Reed, M.; Simon, B.: Methods of Modern Mathematical Physics, Bd. III, Scattering Theory. Academic Press San Diego, 1979.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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