fundamentaler Begriff für die Homologietheorie. Gegeben sei eine endliche oder unendliche Folge von abelschen Gruppen und Homomorphismen der Form \begin{eqnarray}\cdots \mathop{\to }\limits^{{f}_{q+2}}{A}_{q+1}\mathop{\to }\limits^{{f}_{q+1}}{A}_{q}\mathop{\to }\limits^{{f}_{q}}{A}_{q-1}\mathop{\to }\limits^{{f}_{q-1}}\cdots.\end{eqnarray}

Diese Folge heißt exakt bei A_q, wenn die Untergruppen Im (f_q+1) und Ker (f_q) von A_q übereinstimmen; heißt exakt, wenn das für alle q gilt.

Die Sequenz \(0\to A\mathop{\to }\limits^{f}B\)bzw. \(A\mathop{\to }\limits^{g}B\to 0\)ist genau dann exakt, wenn f injektiv bzw. g surjektiv ist (dabei ist 0 die Nullgruppe, und 0 → A bzw. B → 0 sind die Nullhomomorphismen). \(0\to A\mathop{\to }\limits^{h}B\to 0\)ist genau dann exakt, wenn h ein Isomorphismus ist.

Eine exakte Sequenz der Form \begin{eqnarray}0\to A\mathop{\to }\limits^{f}B\mathop{\to }\limits^{g}C\to 0\end{eqnarray}

heißt kurze exakte Sequenz. In einer solchen Sequenz ist also f injektiv und g surjektiv. Sie zerfällt oder spaltet, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

a) Es gibt einen Isomorphismus ϕ : A ⊕ C → B mit f (a) = ϕ (a, 0) und gϕ (a, c) = c.

b) Es gibt einen zu g rechtsinversen Homomorphismus r : C → B, d. h. gr = id_C.

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c) Es gibt einen zu f linksinversen Homomorphismus l : B → A, d. h. lf = id_A.

Wenn \(0\to A\mathop{\to }\limits^{f}B\mathop{\to }\limits^{g}C\to 0\) exakt ist, so gibt es eine zu A isomorphe Untergruppe A′ von B, nämlich A′ = f (A) = Ker (g), so daß B/A′ zu C isomorph ist. Man nennt daher B eine Erweiterung der Gruppe A durch die Gruppe C. Es ist ein wichtiges Problem, bei gegebenen A, C alle Erweiterungen zu bestimmen.

Alle diese Definitionen und Aussagen lassen sich auf R-Moduln über einem Ring R und R-Modulhomomorphismen übertragen.

[1] Mac Lane, S.: Homology. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg/New York, 1995.
[2] Stöcker, R., Zieschang, H.: Algebraische Topologie. B.G. Teubner Stuttgart, 1988.