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Lexikon der Mathematik: Laguerre-Polynome

klassisches orthogonales Polynomsystem auf (0, ∞) bezüglich der Gewichtsfunktion ω(x) = xνe−x für ν > −1.

Die Laguerre-Polynome \({L}_{n}^{\nu }\) sind durch die Rodrigues-Formel \begin{eqnarray}{L}_{n}^{\nu }(x)=\frac{{x}^{-\nu }{e}^{x}}{n!}\frac{{d}^{n}}{d{x}^{n}}({x}^{v+n}{e}^{-x})\end{eqnarray}

definiert. Eine explizite Darstellung ist durch \begin{eqnarray}{L}_{n}^{\nu }(x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{(-1)}^{k}\frac{\Gamma (\nu +n+1)}{k!(n-k)!\Gamma (\nu +k+1)}{x}^{k}\end{eqnarray}

gegeben. Die Laguerre-Polynome lösen für \(y={L}_{n}^{\nu }\) die Differentialgleichung \begin{eqnarray}x{y}^{^{\prime\prime} }+(\nu +1-x){y}^{^{\prime} }+ny=0.\end{eqnarray}

Es gilt die Rekursion \({L}_{0}^{\nu }(x)=1\) und \begin{eqnarray}{L}_{n+1}^{\nu }(x)=\frac{\nu +2n+1-x}{n+1}{L}_{n}^{\nu }(x)-\frac{\nu +n}{n+1}{L}_{n-1}^{\nu }(x).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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