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Lexikon der Mathematik: Laurentscher Aufspaltungssatz

lautet:

Es sei f eine im Kreisring Ar,s(z0) := {z ∈ ℂ : 0 ≤ r < |z − z0| < s ≤ ∞}, z0 ∈ ℂ holomorphe Funktion. Dann existieren eindeutig bestimmte Funktionen f1und f2mit folgenden Eigenschaften:

  1. f1ist holomorph in Bs(z0) = {z ∈ ℂ : |zz0| < s}.
  2. f2ist holomorph in \(\mathop{{\mathbb{C}}}\limits^{\frown {}}\backslash \overline{Br({z}_{0})}\)und f2(∞) = 0.
  3. Für zAr,s(z0) gilt f(z) = f1(z) + f2(z).

Weiter gilt für jedes ϱ ∈ (r, s) \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{f}_{1}(z)=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial {B}_{\varrho }({z}_{0})}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta, & z\in {B}_{\varrho }({z}_{0}),\\ {f}_{2}(z)=-\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial {B}_{\varrho }({z}_{0})}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta, & z\in {\mathbb{C}}\backslash \bar{{B}_{\varrho }({z}_{0})},\end{array}\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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