Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: lineare Unabhängigkeitsbedingung

eine Regularitätsbedingung an einen einzelnen oder auch die Menge aller zulässigen Punkte eines Optimierungsproblems.

Sei

\begin{eqnarray}M:=\{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}|{h}_{i}(x)=0,i\in I;{g}_{j}(x)\ge 0,j\in J\}\end{eqnarray}

mit reellwertigen Funktionen hi, gjC1(ℝn) und endlichen Indexmengen I und J. Ein Punkt x̅ ∈ M erfüllt die lineare Unabhängigkeitsbedingung, falls die Gradienten

\begin{eqnarray}\{D{h}_{i}(\bar{x}),i\in I;D{g}_{j}(\bar{x}),j\in {J}_{0}(\bar{x})\}\end{eqnarray}

linear unabhängig sind (wobei

\begin{eqnarray}{J}_{0}(\bar{x}):=\{j\in J|{g}_{j}(\bar{x})=0\}\end{eqnarray}

die in x̅ aktiven Indizes sind).

Die lineare Unabhängigkeitsbedingung gilt auf M, wenn sie in jedem x̅ ∈ M erfüllt ist.

Wichtig sind derartige Regularitätsbedingungen, da ihre Gültigkeit diverse notwendige Optimalitätskriterien implizieren kann. So gilt etwa der folgende Satz:

Seien f, hj, gjC1(ℝn) mit Werten in ℝ, M wie oben, und gelte die lineare Unabhängigkeitsbedingung in x̅ ∈ M. Ist x̅ ein lokaler Minimalpunkt von f|M, dann ist x̅ ein Karush-Kuhn-Tucker Punkt.

Man beachte, daß dieser Satz ohne die Gültigkeit der linearen Unabhängigkeitsbedingung nicht richtig ist, wie etwa das Beispiel

\begin{eqnarray}\begin{array}\llf(x,y)=x,{g}_{1}(x,y)=y-{x}^{2},\\ {g}_{2}(x,y)=2\cdot {x}^{2}-y,{g}_{3}(x,y)=x\cdot y\end{array}\end{eqnarray}

im Punkt 0 ∈ ℝ2 belegt. Hier folgt aus g1(x, y) ≥ 0 und g3(x, y) ≥ 0, daß f(x, y) ≥ 0 sein muß, d. h. 0 ∈ ℝ2 ist globaler Minimalpunkt von f|M. Andererseits ist die Gleichung

\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)={\mu }_{1}\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)+{\mu }_{2}\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right)+{\mu }_{3}\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\end{eqnarray}

unlösbar.

Eine andere vergleichbare Regularitätsbedingung ist beispielsweise die Mangasarian-Fromovitz-Bedingung.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte