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Lexikon der Mathematik: linksseitiger Limes inferior

die zu einer auf einer Menge D ⊂ ℝ definierten Funktion φ : D → ℝ an einer Stelle aD, die Häufungspunkt von D ∩ (−∞, a] sei, durch \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\,\inf }\limits_{x\uparrow a}\,\,\phi (x)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\uparrow a}\mathop{\inf }\limits_{t\in (x,a)}\phi (t)\,\,\,\,\in \,\,\,[-\infty, \infty ]\end{eqnarray} definierte Größe. Ebenso ist der linksseitige Limes superior erklärt durch \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\,\sup }\limits_{x\uparrow a}\,\,\phi (x)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\uparrow a}\mathop{\text{sup}}\limits_{t\in (x,a)}\phi (t)\,\,\,\,\,\in \,\,\,\,[-\infty, \infty ].\end{eqnarray}

Es gilt \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\,\inf }\limits_{x\uparrow a}\,\,\phi (x)\le \mathop{{\rm{lim\; sup}}}\limits_{x\uparrow a}\,\,\phi (x)\end{eqnarray} mit Gleichheit genau dann, wenn der linksseitige Grenzwert φ(a−) in [−∞, ∞] existiert, der dann gleich dem linksseitigen Limes inferior und superior ist. Mit Hilfe des linksseitigen Limes inferior wird die Dini-Ableitung Df einer Funktion f definiert, mit dem linksseitigen Limes superior ihre Dini-Ableitung Df.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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