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Lexikon der Mathematik: Lipschitz-Kriterium für Fourier-Reihen

manchmal auch Dini-Lipschitz-Kriterium genannt, ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz einer Fourier-Reihe.

Sei f 2π-periodisch und über [0, 2π] integrierbar. Für den Stetigkeitsmodul \begin{eqnarray}\omega (\delta )=\sup \{|f({x}_{2})-f({x}_{1})|:|{x}_{2}-{x}_{1}|\lt \delta \}\end{eqnarray} gelte limδ↘0ω(δ) logδ = 0. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von f gleichmäßig gegen f.

Die Voraussetzung ist insbesondere erfüllt, wenn f Lipschitz-stetig ist, d. h. es existieren M > 0, α > 0 mit \begin{eqnarray}|f({x}_{2})-f({x}_{1})|\lt M{|{x}_{2}-{x}_{1}|}^{\alpha }\end{eqnarray} für alle x1, x2 ∈ ℝ.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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