ein in der Clusteranalyse und Diskriminanzanalyse verwendetes Maß für die statistische Unterscheidung zweier Objekte bzw. zweier Gruppen von Objekten (Klassen, Cluster, Kollektive), und zur Zuordnung eines Objekts zu einer von mehreren möglichen Gruppen.

I. Mahalanobis-Abstand zur Unterscheidung zweier Objekte: Seien O₁, O₂,…,O_n n Objekte, an denen jeweils p Merkmale gemessen wurden, und sei \({\overrightarrow{x}}_{i}=({x}_{i1},\ldots,{x}_{ip})\) der Vektor der gemessenen Merkmalswerte am Objekt O_i, i = 1,…, n. Die Gesamtinformation an Daten ist in folgender Datenmatrix darstellbar:

Seien weiterhin \begin{eqnarray}\overline{{x}_{.k}}:=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{x}_{ik}\end{eqnarray} das arithmetische Mittel des Merkmals X_k und S = (s_kl)_k,l=1,…,p, wobei \begin{eqnarray}{s}_{kl}:=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}({x}_{ik}-\overline{{x}_{.k}})({x}_{il}-\overline{{x}_{.l}})\end{eqnarray} die empirische Kovarianz des Merkmals X_k mit dem Merkmal X_l ist. Sei S⁻¹ die Inverse zu S. Der Mahalanobis-Abstand zwischen den Objekten O_i und O_j ist dann definiert durch \begin{eqnarray}{d}_{ij}:={({\overrightarrow{x}}_{i}-{\overrightarrow{x}}_{j})}^{T}{S}^{-1}({\overrightarrow{x}}_{i}-{\overrightarrow{x}}_{j})=:{\Vert {\overrightarrow{x}}_{i}-{\overrightarrow{x}}_{j}\Vert }_{{S}^{-1}}^{2}.\end{eqnarray}

II. Mahalanobis-Abstand zwischen Objektgruppen: In diesem Fall liegt für jede von N, N ≥ 2, Objektgruppen i = 1,…,N folgende Datenmatrix vor:

Sei \begin{eqnarray}\overline{{\overrightarrow{x}}_{i.}}:=(\overline{{x}_{i.1}},\ldots,\overline{{x}_{i.p}})\,\,\mathrm{mit}\,\,\overline{{x}_{i.k}}:=\frac{1}{{n}_{i}}\displaystyle \sum _{j=1}^{{n}_{i}}{x}_{ijk}\end{eqnarray} der Vektor der Merkmalsmittelwerte in der i-ten Gruppe und S* = (s_kl)_k,l=1,…,p die gemeinsame empirische Kovarianzmatrix, wobei die Komponenten s_kl die Schätzungen der Kovarianz zwischen Merkmal k und Merkmal l bzgl. aller Gruppen sind, also \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{s}_{kl}:=\frac{1}{n-N}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\displaystyle \sum _{j=1}^{{n}_{i}}({x}_{ijk}-\overline{{x}_{i.k}})({x}_{ijl}-\overline{{x}_{i.l}})\end{array}\end{eqnarray} mit \(n:=\displaystyle {\sum }_{i=1}^{N}{n}_{i}\). Der Mahalanobis-Abstand zwischen den Gruppen i und j von Objekten ist dann definiert durch den normierten Abstand der Vektoren der Merkmalsmittelwerte in den beiden Gruppen: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{D}_{ij} & := & {(\overline{{\overrightarrow{x}}_{i.}}-\overline{{\overrightarrow{x}}_{j.}})}^{T}{S}^{-1}(\overline{{\overrightarrow{x}}_{i.}}-\overline{{\overrightarrow{x}}_{j.}})\\ & = & {\Vert \overline{{\overrightarrow{x}}_{i.}}-\overline{{\overrightarrow{x}}_{j.}}\Vert }_{{S}^{-1}}^{2}.\end{array}\end{eqnarray}

III. Liegt ein unbekanntes Objekt mit dem Merkmalsvektor \(\overrightarrow{z}={({z}_{1},\ldots {z}_{p})}^{T}\) vor, so verwendet man als Kriterium für die Zuordnung des Objekts den Mahalanobis-Abstand zum Mittelwertvektor der jeweiligen Gruppe i: \begin{eqnarray}{(\overrightarrow{z}-\overline{{\overrightarrow{x}}_{i.}})}^{T}{S}^{-1}(\overrightarrow{z}-\overline{{\overrightarrow{x}}_{i.}})={\Vert \overrightarrow{z}-\overline{{\overrightarrow{x}}_{i.}}\Vert }_{{S}^{-1}}^{2}.\end{eqnarray}

Das Objekt wird der Gruppe zugeordnet, bei der der Abstand am kleinsten ist.

[1] Hartung, J.; Elpelt, B.: Multivariate Statistik. Oldenbourg Verlag München/Wien, 1989.
[2] Krause, B.; Metzler, P.: Angewandte Statistik. Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin, 1983.